Hướng dẫn giải bài tập §2. Một loạt các hình, Chương 3. sự liên tiếp. Đại số và Cấp số mũ, SGK Đại số và Giải tích 11. Giải bài tập Nội dung bài học 1 2 3 4 5 Trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11 gồm Tổng hợp căn thức, Lý thuyết, Phương pháp giải Sách giáo khoa gồm các bài tập Đại số và Giải tích giúp học sinh học tốt môn Toán lớp 11 .
Lý thuyết
1. dãy số
Một dãy số là một hàm\(u:\mathbb{n}* \to \mathbb{r},{\rm{ }}n \to u( n) )\ )
Sắp xếp tăng dần theo tham số tự nhiên \(n\):
\(u(1),u(2),u(3),…,u(n),…\)
\( \bullet {\rm{ }}\)ta đại diện cho \(u(n)\) với \({u_n}\) và được gọi là số hạng thứ n hay dãy tổng quát Phần tử đầu tiên của , \({u_1}\) được gọi là phần tử đầu tiên của dãy.
\( \bullet \) Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},…,{u_n},…\) hoặc biểu mẫu đơn giản\ ( ({u_n})\).
2. Bằng số
Mọi người thường đưa ra các con số bằng cách:
\( \bullet \) cho các thuật ngữ chung, nghĩa là: cho các hàm u xác định các dãy số
\( \bullet \) bằng một công thức đệ quy, cụ thể là:
Đối với một vài mục đầu tiên của chuỗi
Đối với mối quan hệ biểu thị một thuật ngữ chung bằng thuật ngữ (hoặc các thuật ngữ) trước nó.
3. Thứ tự tăng, thứ tự giảm
\( \bullet \) Dãy \(({u_n})\) được gọi là dãy tăng nếu \({u_n} < {u_{n + 1}}{\ rm { }}\forall n \in \mathbb{n}*\)
\( \bullet \) Dãy \(({u_n})\) được gọi là dãy giảm nếu \({u_n} > {u_{n + 1}}{\ rm { }}\forall n \in \mathbb{n}*\)
4. Số bị chặn
\( \bullet \) nếu tồn tại một số thực\(m\) sao cho \({ u_n } < m{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{ n}*\).
\( \bullet \) nếu tồn tại một số thực\(m\) sao cho \({ u_n } > m{\rm{ }}\forall n \in mathbb{n }*\).
\( \bullet \) Dãy số bị chặn trên và dưới được gọi là dãy số bị chặn, tức là tồn tại số thực dương \(m\) sao cho \(\ left | {{u_n}} \ right| < m{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{n}*\).
Sau đây là hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập môn Đại số và Giải tích 11 dành cho học sinh.
Câu hỏi
1. Trang 85 SGK Đại số và Giải tích 11 Có đáp án
Đối với hàm \(\displaystyle f(n) ={1 \over {2n – 1}}\), n ∈ n*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).
Trả lời:
Ta có:
\(\eqalign{ & f(1) = {1 \over {2.1 – 1}} = {1 \over {2 – 1}} = {1 \over 1} = 1 cr & f(2) = {1 \over {2.2 – 1}} = {1 \over {4 – 1}} = {1 \over 3} \cr & f(3) = {1 \ over {2.3 – 1}} = {1 \ over {6 – 1}} = {1 \ over 5} \cr & f(4) = {1 \ over {4.2 – 1 }} = {1 \ over {8 – 1}} = {1 \ over 7} \cr & f(5) = {1 \ over {5.2 – 1}} = {1 \ over { 10 – 1}} = {1 \trên 9} \cr} \)
2. SGK Đại số và Giải tích 11 Trang 86 Đáp án 2
Mô tả và ví dụ về các chức năng.
Trả lời:
– Hàm bằng bảng:
Ví dụ:
– Hàm cho một công thức đã cho:
Ví dụ:
\(\displaystyle y = {{5x + 1} \over x}\)
3. Trả lời câu 3 trang 86 SGK Đại số và Giải tích 11
Viết 5 số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số sau:
a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ;
b) Số dư $1$ sau khi chia dãy số tự nhiên cho $3.
Trả lời:
a) Năm điều khoản đầu tiên:
\(\displaystyle {1 \ trên 1};\,{1 \ trên 3};\,{1 \ trên 5};\,{1 \ trên 7}; \,{1 \ hơn 9}\)
Số hạng tổng quát của dãy: \(\displaystyle{1 \over {2n + 1}}\) (n∈n)
b) Năm học kỳ đầu tiên: $1; 4; 7; Mười; 13$
Số hạng tổng quát của dãy: $3n + 1(n ∈ n)$
4. SGK Đại số và Giải tích Trang 87, câu 4, đáp án 11
Viết 10 số hạng đầu tiên của dãy phiponaxi.
Trả lời:
Mười số hạng đầu tiên của dãy phiponaxi:
$1;first;2;3;5;8;13;21;34;55.$
5. Trả lời câu 5 Trang 89 SGK Đại số và Giải tích 11
Cho các số (un) và (vn) trong đó un = 1 + \({1 \over n}\);vn = 5n – 1.
a) Tính un+1, vn+1.
b) Chứng minh rằng un+1 < un và vn+1 > vn với mọi n ∈ n*.
Trả lời:
a) un = 1 + \({1 \vượt {n+1}}\); vn+1= 5(n + 1) – 1 = 5n + 4
b)Ta có:
\({u_{n + 1}} – {u_n} = (1 + {1 \over {n + 1}}) – (1 + {1 \over n}) = {1 over {n + 1}} – {1 \over n} = {{ – 1} \over {n(n + 1)}}\)
⇒ UN+1 <;un , n n*
\({v_{n + 1}} – {v_n} = (5n + 4) – (5n – 1) = 5 > 0\)
⇒ vn+1 > vn ,∀n n*
6. Trả lời câu hỏi 6 trang 90 SGK Đại số và Giải tích 11
Chứng minh bất đẳng thức\(\displaystyle{n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\, {{{ n ^2} + 1} \ trên {2n}} \ge 1\) cho tất cả n∈n*
Trả lời:
Ta có:
\(\eqalign{ & {{{n^2}} \over {{n^2} + 1}} – {1 \over 2} = {{2n – ({n^ ) 2} + 1)} \trên {2({n^2} + 1)}} = {{ – {{(n – 1)}^2}} \trên {2({n^2} + 1)}} \le 0;\,\,\forall n \in {n^*} \cr & \rightarrow {n \over {{n^2} + 1} } < {1 \ trên 2};\,\,\forall n \in {n^*} \cr & {{{n^2} + 1} \trên {2n} } – 1 = {{{n^2} + 1 – 2n} \over {2n}} = {{{{(n – 1)}^2}} \over {2n}} \ge 0; ,\,\forall n \in n* \cr & \rightarrow {{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1;\,\ , \forall n \in {n^*} \cr} \)
Dưới đây là hướng dẫn Giải bài tập trang 92 Bài 1 2 3 4 5 SGK Đại số và Giải tích 11. Các em đọc kỹ câu hỏi trước khi giải bài!
Bài tập
giaibaisgk.com giới thiệu đến các bạn lời giải bài tập Đại số và Giải tích 11 đầy đủ và lời giải chi tiết Bài 1 2 3 4 5 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11 Bài §2. Một loạt các số liệu trong chương ba. sự liên tiếp. Phụ gia và hệ số nhân để bạn tham khảo. Chi tiết lời giải của từng bài tập xem bên dưới:
1. Giải bài 1 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11
Dùng số hạng tổng quát không cho bởi công thức để viết năm số hạng đầu tiên của chuỗi:
a) un = \( \frac{n}{2^{n}-1}\);
b) un = \( \frac{2^{n}-1}{2^{n}+1}\) ;
c) un = \( (1+\frac{1}{n})^{n}\);
d) un = \( \frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\).
Giải pháp thay thế:
Với $n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5$, chúng tôi tìm thấy mục đầu tiên của chuỗi $5$
a) un = \( \frac{n}{2^{n}-1}\);
u1 = 1; u2 = \( \frac{2}{3}\), \( u_{3}=\frac{3}{7}; u_{4}=\ frac{4}{15} ;u_{5}=\frac{5}{31}\)
b) un = \( \frac{2^{n}-1}{2^{n}+1}\)
\( u_{1}=\frac{1}{3},u_{2}=\frac{3}{5};u_{3}=\frac{7}{9} ;u_{4}=\frac{15}{17};u_{5}=\frac{31}{33}\)
c) un = \( (1+\frac{1}{n})^{n}\);
u1 = 2; \( u_{2}=\frac{9}{4};u_{3}=\frac{64}{27};u_{4}=\frac{625 }{256};u_{5}=\frac{7776}{3125}\)
d) un = \( \frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\)
\( u_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}};u_{2}=\frac{2}{\sqrt{5}};u_{3} =\frac{3}{\sqrt{10}};u_{4}=\frac{4}{\sqrt{17}};u_{5}=\frac{5}{\ căn bậc hai{26}}\)
2. Giải bài 2 tr.92 SGK Đại số và Giải tích 11
Cho dãy un , biết: u1 = -1; un+1 = un +3 và $n 1$.
a) Viết năm mục đầu tiên của dãy;
b) Chứng minh bằng quy nạp: un = 3n -4.
Giải pháp thay thế:
a) Từ u1 = -1 ta tìm được u2 = 2, sau đó ta tìm được u3, u4, u5 với các giá trị $5, 8, 11$.
b) Ta thấy rằng với n = 1 thì u1 = $3,1 – 4 = -1,$
Giả sử n = k ≥ 1 ⇒ uk $= 3k -4.$ thì mối quan hệ đúng
Với $n = k +1$ ta có:
uk+1 = uk + 3 = $3k – 4 + 3$ = $3(k + 1) – 4 = 3n – 4$ (dpcm)
Vậy mối quan hệ này đúng với mọi n ε n*
3. Giải bài 3 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11
Dãy không cho trước: u1 = 3; un+1 = \( \sqrt{1+u^{2}_{n}}\), $n ≥ 1.$
a) Viết năm mục đầu tiên của dãy;
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh bằng quy nạp.
Giải pháp thay thế:
a) Từ u1 = 3 ta tìm được u2 = $\sqrt{10}$ nên lần lượt tìm u3, u4, u5 có giá trị là $\sqrt{11 }$ , $\sqrt{12}$ , $\sqrt{13}$.
b) Dựa vào kết quả câu a, ta có công thức dự đoán dãy số như sau:
$u_n = \sqrt{n + 8}$ (*)
Bằng chứng:
Ta thấy $n = 1$ nên công thức (*) đúng.
Giả sử $n = k ≥ 1$ là đúng thì $u_k = \sqrt{k + 8}$
Với $n = k + 1$, ta có:
uk+1 = \( \sqrt{1+u^{2}_{k}}=\sqrt{1+(\sqrt{k+8})^{2}}= sqrt{(k+1)+8}\) $= \sqrt{n + 8}$ (dpcm)
Vậy công thức (1) đúng với $n = k + 1$.
4. Lời giải trang 92 bài 4 SGK Đại số và Giải tích 11
Xét mức tăng và giảm của chuỗi chưa biết:
a) $u_n = \frac{1}{n} – 2;$
b) $u_n = \frac{n-1}{n+1};$
c) $u_n=(-1)^n(2^n + 1);$
d) $u_n = \frac{2n+1}{5n+2}.$
Giải pháp thay thế:
a) Ta có un+1 = \( \frac{1}{n+1} – 2\)
Cân nhắc:
un+1 – un = \( \frac{1}{n+1} – 2 – ( \frac{1}{n}\) – 2)\)
\(= \frac{1}{n+1}\) – \( \frac{1}{n}\).
Ta thấy rằng \( \frac{1}{n+1}\) < \( \frac{1}{n}\) phải là un+1 – un = \ ( \frac{1}{n+1}\) – \( \frac{1} {n}\) <; 0 với mọi n ε n*.
⇒ Dãy số đã cho là dãy số giảm.
b) Ta có un+1 = $\frac{n+1-1}{n+1+1}$
⇒ un+1 – un = \( \frac{n+1-1}{n+1+1}-\frac{n-1}{n+1}=\frac{n {n+2}-\frac{n-1}{n+1}\)
= \( \frac{n^{2}+n- n^{2}-n+2}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{( n+1)(n+2)}>0\)
⇒ Dãy số đã cho là dãy số tăng.
c) Do thừa số (-1)n của số hạng ban đầu nên dãy không tăng, không giảm.
d) Ta có $u_{n+1} = \frac{2n+3}{5n+7}$
Ta có \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) \( =\frac{2n+3}{5n+7}.\frac{ 5+2}{2n+1}=\frac{10n^{2}+19n+6}{10n^{2}+19n+7}<1\) cho mọi n ε n*
⇒ Dãy số đã cho là một dãy số giảm dần.
5. Giải bài 5 tr.92 SGK Đại số và Giải tích 11
Trong dãy số dưới đây, dãy nào là cận dưới, dãy nào là cận trên và dãy nào bị chặn?
a) un = 2n2 -1;
b) un = \( \frac{1}{n(n+2)}\)
c) un = \( \frac{1}{2n^{2}-1}\);
d) un = sinn + cosn
Giải pháp thay thế:
a) un = 2n2 -1;
Với mọi n ε n*, ta có un = 2n2 -1 ≥ 1
⇒ là dãy cận dưới, không có m thỏa mãn un = 2n2 -1 ≤ m nên dãy không có cận trên.
b) un = \( \frac{1}{n(n+2)}\)
Ta thấy: un > 0 với mọi n ε n*
Ta có: n(n + 2) = n2 + 2n ≥ 3 \( \frac{1}{n(n+2)}\) \( \leq \frac{1 } {3}\).
⇒ 0 < un \( \leq \frac{1}{3}\) với mọi n ε n* số bị chặn.
c) un = \( \frac{1}{2n^{2}-1}\);
Ta có: 2n2 – 1 > 0 ⇒ \( \frac{1}{2n^{2}-1}\) > 0
2n2 – 1≥ 1 ⇒ \( u_{n}=\frac{1}{2n^{2}-1}\) ≤ 1.
⇒ 0 < un 1, với mọi n ε n* dãy bị chặn.
d) un = sinn + cosn
Ta có: $u_n = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}sinn + \frac{\sqrt{2}}{2}cosn) = sqrt{2}sin(n + \frac{\pi }{4})$, với mọi n.
⇒ $-\sqrt{2} ≤ sinn + cosn ≤ \sqrt{2}$ với mọi n ε n*
Vậy $-\sqrt{2} < u_n < \sqrt{2}$, với mọi n ε n*
Trước:
- Giải bài 1 2 3 4 5 trang 82 83 SGK Đại số và Giải tích 11
- Giải bài 1 2 3 4 5 Trang 97 98 SGK Đại số và Giải tích 11
- Câu hỏi khác 11
- Học tốt Vật lý lớp 11
- Học tốt môn sinh học lớp 11
- Học tốt ngữ văn lớp 11
- Điểm tốt môn lịch sử lớp 11
- Địa lý lớp 11
- Học tốt tiếng Anh lớp 11
- Học tốt môn Tiếng Anh lớp 11 thí điểm
- Học tốt môn Tin học lớp 11
- Học chăm chỉ môn gdcd lớp 11
Tiếp theo:
Xem thêm:
Chúc các bạn làm tốt bài tập, lời giải vở bài tập toán 11 1 2 3 4 5 Trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11!
“Môn thể thao nào đã khó giabaisgk.com”
