Bài 1: Quy nạp toán học
Sách giáo khoa Đại số 11 Trang 82 Bài 2 Video Giải toán – cô ngo hoang ngoc ha (cô giáo thời chiến tranh Việt Nam)
Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng tỏ rằng với n ∈ n*
A. n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3.
4n + 15n – 1 chia hết cho 9
n3 + 11n chia hết cho 6.
Giải pháp:
A. Phương pháp 1: Quy nạp
Cho an = n3 + 3n2 + 5n
+ Ta có: với n = 1
a1 = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết cho 3
+ Giả sử n = k 1 ta có:
ak = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết cho 3 (giả thiết quy nạp)
Ta chứng minh ak + 1 chia hết cho 3
Thật vậy, chúng ta có:
ak + 1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5
= (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9
Theo giả thiết quy nạp: k3 + 3k2 + 5k ⋮ 3
3k2 + 9k + 9 = 3.(k2 + 3k + 3) ⋮ 3
⇒ ak + 1 3.
Cách hai: chứng minh trực tiếp.
Có: n3 + 3n2 + 5n
= n.(n2 + 3n + 5)
= n.(n2 + 3n + 2 + 3)
= n.(n2 + 3n + 2) + 3n
= n.(n + 1)(n + 2) + 3n.
Trong đó: n(n + 1)(n + 2) 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)
3n 3
⇒ n3 + 3n2 + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3.
Vậy với mọi n ∈ n*, n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3
4n + 15n – 1 chia hết cho 9
Cho an = 4n + 15n – 1
n = 1 ⇒ a1 = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết cho 9
+ Giả sử n = k 1 đúng có nghĩa là:
ak = (4k + 15k – 1) chia hết cho 9 (giả thiết quy nạp)
Ta cần chứng minh: ak + 1 chia hết cho 9
Thật vậy, chúng ta có:
ak + 1 = 4k+1 + 15(k + 1) – 1
= 4,4k + 15k + 15 – 1
= 4.(4k + 15k – 1) – 45k+ 4+ 15 – 1
= 4.(4k +15k- 1) – 45k + 18
= 4.ak + (- 45k + 18)
Ta có: ak⋮ 9 và (- 45k+18) = 9(- 5k + 2)⋮ 9
phải là ak + 1 ⋮ 9
Vậy 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ n*
Cách 1: Chứng minh quy nạp.
Đặt un = n3 + 11n
+ trong đó n = 1 u1 = 12 chia hết cho 6
+ Giả sử n = k 1 đúng, ta có:
uk = (k3 + 11k) chia hết cho 6 (giả thiết quy nạp)
Ta cần chứng minh: uk + 1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) chia hết cho 6
Chúng tôi có:
Anh+1 = (k+1)3+11(k+1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11
= (k3 + 11k) + 3k2 + 3k + 12
= Anh + 3(k2 + k + 4)
that: uk 6 (giả thuyết quy nạp)
3.(k2 + k + 4) ⋮ 6. (vì k2 + k + 4 = k(k + 1) + 4 ⋮2)
⇒ Vương quốc Anh + 1 6.
Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ n*.
Cách hai: chứng minh trực tiếp.
Có: n3 + 11n
= n3 – n + 12n
= n(n2 – 1) + 12n
= n(n – 1)(n + 1) + 12n.
Vì n(n – 1)(n + 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một thừa số chia hết cho 2 và một thừa số chia hết cho 3
⇒ n(n – 1)(n + 1) 6.
Một lần nữa: 12n ⋮ 6
⇒ n3 + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n ⋮ 6.
Kiến thức ứng dụng
Các bài toán đại số 11 bài 1 chương 3 khác có lời giải:
-
Giải bài tập Toán 11 Đại số 1 trang 80: Xét mệnh đề hai biến….
-
Giải bài tập trang 81 SGK Đại số 11 Bài 1:Chứng minh rằng với n ∈ n* thì….
-
Giải bài tập trang 82 SGK Đại số 11 Bài 1:Cho hai số 3n và 8n, trong đó n ∈ n*….
-
Bài 1 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng tỏ rằng với n ∈ n*…
-
Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11):Chứng minh rằng với n ∈ n*…
-
Bài 3 (trang 82 SGK Đại số 11):Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên…
-
Bài 4 (trang 83 SGK Đại số 11): Tổng sn=….
-
Bài 5 (trang 83 SGK Đại số 11): Chứng minh số đường chéo của…
Câu hỏi bổ sung Toán 11 Đại số Chương 3 Câu hỏi:
- Bài 1: Quy nạp toán học
- Bài 2: Dãy
- Bài 3: Phụ gia
- Bài 4: Số nhân
- Xem lại Chương 3
- Hơn 75.000 câu hỏi toán trắc nghiệm có đáp án
- Hơn 50.000 câu hỏi trắc nghiệm với 11 đáp án chi tiết
- Gần 40.000 Câu Hỏi Đáp Án Trắc Nghiệm Vật Lý 11
- Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm
Ngân hàng đề thi lớp 11 tại
khoahoc.vietjack.com
