Phương pháp:
\( \bullet \) tìm giới hạn của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) và tính \(f ( {x_0})\)
\( \bullet \) Nếu tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) Sau đó so sánh ( mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) và \(f({x_0})\).
Lưu ý:
1. Nếu hàm số liên tục tại \({x_0}\), trước tiên bạn phải xác định rằng hàm số liên tục tại điểm này
2. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = l \leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f(x) = l\).
3. Hàm \(y = \left\{ \begin{array}{l}f(x){\rm{ when}}x \ne {x_0}\\k{\rm { Khi }}x = {x_0}\end{array} \right.\) trong \(x = {x_0} \leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x to{ x_0}} f(x) = k\).
4. Hàm \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x){\rm{when}}x \ge {x_0} \\{ f_2}(x){\rm{khi}}x < {x_0}\end{array} \right.\) tại điểm \(x = {x_0}\) là liên tục khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } {f_1}(x) = \mathop {\lim }\limits_{ x to x_0^ – } {f_2}(x) = {f_1}({x_0})\).
Lưu ý:
\( \bullet \) function\(y = \left\{ \begin{array}{l}f(x){\rm{ when }}x \ne { x_0}\\k{\rm{ when}}x = {x_0}\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = {x_0}\), khi và chỉ khi
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = k\).
\( \bullet \) function\(y = \left\{ \begin{array}{l}f(x){\rm{ when }}x > { x_0 } \\g(x){\rm{ khi}}x \le {x_0}\end{array} \right.\) tại \(x = {x_0} ) khi và chỉ khi
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } g(x)\).
Ví dụ 1:
Xét tính liên tục của hàm sau tại \(x = 3\)
a) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^ 3} – 27}}{{{x^2} – x – 6}}\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ne 3}\\{ \frac{{10}}{3}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x = 3}\end{array}} \yes. )
b) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x – 3 }}{{\sqrt {2x + 3} – 3}}\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 3}\\{\, ,{{\left({x – 1} \right)}^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,{ rm{khi }}\,\,x \ge 3}\end{array}} \right.\)
Mô tả:
a) hàm được xác định trên \(\mathbb{r}\)
Ta có \(f(3) = \frac{{10}}{3}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f (x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^3} – 27}}{{{x^2} – x – 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x – 3)({x^2} + 3x + 9)}}{{(x – 3)(x + 2)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} + 3x + 9}}{{x + 2}} = frac{{27}}{5} \ne f(3)\).
Vậy hàm số gián đoạn tại \(x = 3\).
b) Ta có \(f(3) = 4\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {(x – 1)^2} = 4\) ; \(\mathop {\lim }\ giới hạn_{x \to {3^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \frac{{x – 3}}{ {\sqrt {2x + 3} – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} frac{{\sqrt {2x + 3} + 3}}{2} = 3 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) \)
Vậy hàm ngắt tại \(x = 3\).
Ví dụ 2:
Xét tính liên tục của hàm số sau tại một điểm cho trước.
a) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1{\rm{ when}}x \ne 1\ \{\rm{2 khi }}x = 1\end{array} \right.\) tại điểm \({x_0} = 1\)
b) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {{x^2} – x – 2} \ Đối với |}}{{x + 1}}{\rm{khi}}x \ne – 1\\1{\rm{khi}}x = -1{\rm{ }} end{array} \right.\)
Mô tả:
a) Ta có \(f(1) = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop { \lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + 1) = 2 = f(1)\)
Vậy hàm số tiếp tục tại điểm \(x = 1\).
b) Ta có \(f( – 1) = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{\left| {(x + 1)(x – 2)} \right|}}{{x + 1}} = \mathop {\lim } \limits_{x \to – {1^ + }} (2 – x) = 3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} \frac{{\left| {(x + 1)(x – 2)} \right|}}{{x + 1}} = \mathop {\lim } \limits_{x \to – {1^ – }} (x – 2) = – 3 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f (x)\)
Hàm \(y = f(x)\) không có giới hạn khi \(x \to – 1\).
Vậy hàm số không liên tục tại \(x = – 1\).
Ví dụ 3:
Tìm \(a\) sao cho hàm số sau liên tục tại \(x = 2\)
a) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,\frac{{ \sqrt[3]{{4x}} – 2}}{{x – 2}}\,\,{\rm{ when}}\,x \ne 2}\\{ a\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x = 2}\end{array}} \right.\)
b) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^ ) 4} – 5{x^2} + 4}}{{{x^3} – 8}}\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\ , x < 2}\\{\,\,a{x^2} + x + 1\,\,\,\,\,\,\,\ , \,{\rm{khi}}\,\,x \ge 2}\end{array}} \right.\)
Mô tả:
a) Ta có \(f(2) = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop { \lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{4x}} – 2}}{{x – 2}} = \mathop {\lim } \limits_{x \to 2} \frac{4}{{\sqrt[3]{{{(4x)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{4x}} + 4}} = \frac{1}{3}\)
Hàm số liên tục tại điểm\(x = 2 \leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \leftrightarrow a = Điểm{1}{3}\).
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to {2^ – }} \frac{{{x^4} – 5{x^2} + 4}}{{{x^3} – 8}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{({x^2} – 1)(x + 2)}}{{{x^2} + 2x + 4}} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to { 2^ + }} \left( {a{x^2} + x + 1} \right) = 4a + 3 = f(2)\)
Hàm số liên tục trong \(x = 2 \leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\ lim } \limits_{x \to {2^ – }} f(x) = f(2)\)
\( \leftrightarrow 4a + 3 = 1 \leftrightarrow a = – \frac{1}{2}\).
Phương pháp: sử dụng định lý liên tục của hàm đa thức, lẽ thường, phân số hữu tỉ…
Nếu hàm số đã cho dưới dạng nhiều căn thức thì ta xét tính liên tục tại mỗi khoảng bị chia và điểm chia của các khoảng này.
Ví dụ 1:
Xét tính liên tục của hàm số sau trên toàn trục số:
a) \(f(x) = \tan 2x + \cos x\)
b) \(f(x) = \frac{{\sqrt {x – 1} + 2}}{{{x^2} – 3x + 2}}\)
Mô tả:
a) txĐ: \(d = \mathbb{r}\dấu chéo ngược\left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{ 2},k \in \mathbb{z}} \right\}\)
Vậy hàm số liên tục trên \(d\)
b) Phán đoán điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 1 \ge 0\\{x^2} – 3x + 2 \ ne 0 \end{array} \right \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 2\end{array} right. )
Vậy hàm số liên tục trên \(\left( {1;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Ví dụ 2:
Xác định a sao cho hàm \(\,f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ frac {{{a^2}\left( {x – 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2} – 2}}\,\,\,\, \ ,{\rm{khi}}\,x < 2}\\{\,\,\left({1 – a} \right)x\,\, , \,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 2}\end{array}} \right. ) liên tiếp trên \(\mathbb{r}\).
Mô tả:
Hàm được xác định trên \(\mathbb{r}\)
Hàm liên tục với \(x < 2 \rightarrow \)
Hàm liên tục với \(x > 2 \rightarrow\)
Với \(x = 2\) ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop { lim }\limits_{x \to {2^ + }} (1 – a)x = 2(1 – a) = f(2)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to { 2^ – }} \frac{{{a^2}(x – 2)}}{\sqrt {x + 2} – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x to {2^ – }} {a^2}(\sqrt {x + 2} + 2) = 4{a^2}\)
Hàm liên tục trên \(\mathbb{r} \leftrightarrow \) hàm liên tục trên \(x = 2\)
\( \leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x to {2^ + }} f(x) \leftrightarrow 4{a^2} = 2(1 – a) \leftrightarrow a = – 1,a = \frac{1}{2}\) .
Vậy \(a = – 1,a = \frac{1}{2}\) là giá trị cần tìm.
Phương pháp:
\( \bullet \) Để chứng minh phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm trên d, ta chứng minh hàm số \(y = f(x ) )\ ) liên tục trên d và có hai số \(a,b \in d\) sao cho \(f(a).f(b) < 0\).
\( \bullet \) Để chứng minh phương trình \(f(x) = 0\) có k nghiệm trên d, ta chứng minh hàm số \(y = f(x) ) Liên tục trên d và có k khoảng rời rạc\(({a_i};{a_{i + 1}})\) (i=1,2,…,k) nằm trong d sao cho ( f({a_i}).f({a_{i + 1}}) < 0\).
Ví dụ 1:
Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm:
a) \({x^7} + 3{x^5} – 1 = 0\)
b) \({x^2}\sin x + x\cos x + 1 = 0\)
Mô tả:
a) Ta có hàm số \(f(x) = {x^7} + 3{x^5} – 1\) liên tục trên r và \(f(0).f(1) ) = – 3 < 0\)
Phương trình dẫn xuất \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong \((0;1)\.
b) Ta có hàm số \(f(x) = {x^2}\sin x + x\cos x + 1\) liên tục trên r và \(f(0). f (\pi ) = – \pi < 0\). Suy ra rằng phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \((0;\pi )\).
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệm khác nhau
a) \({x^3} – 3x + 1 = 0\)
b) \(2x + 6\sqrt[3]{{1 – x}} = 3\)
Mô tả:
a) hàm số \(f(x) = {x^3} – 3x + 1\), ta có hàm số liên tục trên r và
\(f( – 2) = – 1\,\,;\,\,\,f(0) = 1\,\,;\,\,f (1) = – 1\,\,;\,f(2) = 3\)
\( \rightarrow f( – 2).f(0) = – 1 < 0\,,f(0).f(1) = – 1 < 0,f(1).f( 2) = – 3 < 0\)
Dẫn xuất của một phương trình có ba nghiệm khác nhau
\(( – 2;0),(0;1),(1;2)\).
Trường hợp f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) có nhiều nhất 3 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm.
b) Phương trình \( \leftrightarrow 2x – 3 = 6\sqrt[3]{{x – 1}} \leftrightarrow {(2x – 3)^3} – 216(x – 1) = 0\)
Xét hàm \(f(x) = {(2x – 3)^3} – 216(x – 1)\), ta có hàm liên tục của r và
\(f( – 4) = – 251, f(0) = 189, f(1) = – 1, f(7) = 35\)
Suy ra\( \rightarrow f( – 4).f(0) < 0\,,f(0).f(1) < 0,f(1).f(7) < ; 0 \)
Dẫn xuất của một phương trình có ba nghiệm khác nhau
\(( – 4;0),(0;1),(1;7)\).
Trường hợp f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) có nhiều nhất 3 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm.
