Bài 1 Trang 91 SGK Hình Học 12
Cho hệ tọa độ \(oxyz\), cho bốn điểm\(a( 1 ; 0 ; 0 ), b( 0 ; 1 ; 0 ), c( 0 ; 0 ; 1 ), d ( – 2 ; 1 ; -1)\).
a) Chứng minh rằng \(a, b, c, d\) là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tìm góc giữa hai đường thẳng \(ab\) và \(cd\).
c) Tính chiều cao của hình chóp\(a.bcd\).
NGƯỜI CHIẾN THẮNG
a) Viết phương trình mặt phẳng\((abc)\): Theo phương trình mặt phẳng của giao tuyến ta có:
\((abc)\): \({x \ trên 1} + {y \ trên 1} + {z \ trên 1} = 1 \leftrightarrow x + y + z – 1 = 0\)
Thay tọa độ của \(d\) vào vế phải của phương trình mặt phẳng \((abc)\), ta có:
\(-2 + 1 – 1 – 1 = 1 0\)
Vậy \(d ∉ (abc)\) hay bốn điểm \(a, b, c, d\) không đồng phẳng, suy ra dcm.
b) Gọi \(α\) là góc giữa hai đường thẳng \(ab, cd\), ta có:
\(cos α =\left| {\cos \left( {\overrightarrow {ab} ,\overrightarrow {cd} } \right)} \right|\)
Vì vậy, chúng tôi tính \(\cos \left( {\overrightarrow {ab} ,\overrightarrow {cd} } \right)\). Góc \(\overrightarrow {ab} \),\(\overrightarrow {cd} \) giữa hai vectơ được tính như sau:
\(\cos \left( {\overrightarrow {ab} ,\overrightarrow {cd} } \right) = {{\left| {\overrightarrow {ab} .\overrightarrow {cd} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {ab} } \right|.\left| {\overrightarrow {cd} } \right|}}\ )
Ta có: \(\overrightarrow {ab} = ( – 1,1,0)\), \(\overrightarrow {cd} = ( – 2,1, – 2)\)
\(\overrightarrow {ab} .\overrightarrow {cd}= (-1).(-2) + 1.1 + 0.(-2) = 3\)
\(\left| {\overrightarrow {ab} } \right| = \sqrt {{{( – 1)}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \)
\(\left| {\overrightarrow {cd} } \right| = \sqrt {{{( – 2)}^2} + {1^2} + {{( – 2) }^2}} = 3\)
\( \rightarrow \cos (\overrightarrow {ab} ,\overrightarrow {cd} ) = {3 \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } over 2} \rightarrow (\overrightarrow {ab} ,\overrightarrow {cd} ) = 45^0\) \( \rightarrow α = 45^0\)
c) Ta có \(\overrightarrow {bc} = (0; – 1;1),\) \(\overrightarrow {bd} = ( – 2;0; – 1)\ )
Gọi vectơ pháp tuyến của \(\overrightarrow n \) \((bcd)\) rồi sau đó:
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {bc} ,\overrightarrow {bd} } \right] = (-1; -2; 2)\)
Phương trình mặt phẳng\((bcd)\):
\(-1(x – 0) – 2(y – 1) + 2( z – 0) = 0\)
\( \leftrightarrow x + 2y – 2z – 2 = 0\)
Chiều cao của hình chóp \(a.bcd\) bằng khoảng cách từ điểm \(a\) đến mặt phẳng \((bcd)\):
\(h = d(a,(bcd)) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^ 2} + {{( – 2)}^2}} }} = {3\ trên 3} = 1\)
bài giảng 2 trang 91 SGK Hình Học 12
Cho mặt cầu \((s)\) đường kính \(ab\) trong hệ trục tọa độ \(oxyz\), biết rằng \(a( 6 ; 2 ; – 5 ) , b(-4 ; 0 ; 7)\).
a) Tìm tọa độ tâm \(i\) và tính bán kính\(r\) của mặt cầu \((s)\)
b) Lập phương trình cầu\((s)\).
c) Lập phương trình mặt phẳng \((α)\) tiếp xúc với mặt cầu \((s)\) tại điểm \(a\).
NGƯỜI CHIẾN THẮNG
a) Tâm của mặt cầu \(i\) là trung điểm của đoạn thẳng \(ab\):
\(\left\{ \ma trận{{x_1} = {1 \trên 2}(6 – 4) \rightarrow {x_1} = 1 \hfill \cr {y_1} = {1 \trên 2}(2 + 0) \rightarrow {y_1} = 1 \hfill \cr {z_1} = {1 \trên 2}(7 – 5) \rightarrow {z_1} = 1 \hfill \cr} \Có.\)
Vậy \(i(1; 1; 1)\)
Bán kính \(r = {{ab} \trên 2}\)
\(a{b^2} = {\rm{ }}{\left( { – 4{\rm{ }} – {\rm{ }}6} \right)^ 2} + {\rm{ }}{\left( {{\rm{ }}0{\rm{ }} – {\rm{ }}2} \right)^2} + { \rm{ }}{\left( {7{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)^2} = {\rm{ }}248\)
\( \rightarrow ab = \sqrt {248} = 2\sqrt {62} \)
Vậy \(r = {{ab} \over 2} = \sqrt {62} \)
b) Phương trình mặt cầu\((s)\)
\({\left( {x{\rm{ }} – {\rm{ }}1} \right)^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} – {\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {z{ rm{ }} – {\rm{ }}1} \right)^{2}} = {\rm{ }}62\)
\( \leftrightarrow \) \({x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z ^2} – {\rm{ }}2x{\rm{ }} – {\rm{ }}2y{\rm{ }} – {\rm{ }}2z{\rm{ } } – {\rm{ }}59{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
c) Mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cầu tại điểm \(a\) là mặt phẳng đi qua \(a\) và vuông góc với bán kính \(ia\). Chúng tôi có:
\(\overrightarrow {ia} = (5; 1 ; -6)\)
Phương trình tìm mặt phẳng là:
\(5(x – 6) + 1(y – 2) – 6(z + 5) = 0\)
\( \leftrightarrow 5x + y – 6z – 62 = 0\)
Bài 3 Trang 92 SGK Hình Học 12
Trong hệ tọa độ \(oxyz\), cho bốn điểm\(a(-2 ; 6 ; 3), b(1 ; 0 ; 6), c(0; 2 ; -1) , d(1 ; 4 ; 0)\).
a) Viết phương trình của mặt phẳng \((bcd)\). Suy ra rằng \(abcd\) là một tứ diện.
b) Tính chiều cao \(ah\) của tứ diện \(abcd\).
c) Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa \(ab\) và song song với \(cd\).
NGƯỜI CHIẾN THẮNG
a) Ta có: \(\overrightarrow {bc} = (-1; 2; -7)\), \(\overrightarrow {bd}= (0; 4; -6) )
Xét vectơ \(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {bc} ,\overrightarrow {bd} } \right]\) \( \rightarrow \overrightarrow a = (16; – 6; – 4) = 2(8; – 3; – 2)\)
Mặt phẳng \((bcd)\) đến \(b\) và lấy phương thức \(\overrightarrow {a’} = (8; -3; -2)\) Các vectơ phải có phương trình:
\(8(x – 1) -3y – 2(z – 6) = 0\) \( \leftrightarrow 8x – 3y – 2z + 4 = 0\)
Thay tọa độ của \(a\) vào phương trình của \((bc)\), ta có:
\(8.(-2) – 3,6 – 2,6 + 4 = -42 ≠ 0\)
Điều này chứng tỏ điểm \(a\) không nằm trong mặt phẳng\((bcd)\) hoặc bốn điểm\(a, b, c, d\) không đồng phẳng, \(abcd ) là một tứ diện.
b) Chiều cao \(ah\) là khoảng cách từ \(a\) đến mặt phẳng \((bcd)\):
\(ah = d(a,(bcd))\) = \({{\left| {8.( – 2) – 3.6 – 2.3 + 4} \right|} \ trong {\sqrt {{8^2} + {{( – 3)}^2} + {{( – 2)}^2}} }} = {{36} \in{\sqrt{77 } }}\)
c) Ta có: \(\overrightarrow {ab} = (3; – 6; 3)\), \(\overrightarrow {cd} = ( 1; 2; 1)\)
Mặt phẳng \((α)\) chứa \(ab\) và \(cd\) là mặt phẳng đi qua \(a(-2; 6; 3)\ ) và lấy cặp vectơ \(\overrightarrow {ab} \), \(\overrightarrow {cd} \) làm cặp vectơ chỉ phương với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \ left[ { overrightarrow {ab} ,\overrightarrow {cd} } \right]\)
\(\rightarrow \overrightarrow n \) = \((-12; 0; 12) = -12(1; 0; -1)\)
Vậy phương trình của \((α)\) là:
\(1(x + 2) + 0(y – 6) – 1(z – 3) = 0 \)\( \leftrightarrow x – z + 5 = 0\)
Bài 4 Trang 92 SGK Hình học 12
Trong hệ tọa độ \(oxyz\), lập phương trình tham số của đường thẳng:
a) qua hai điểm\(a(1 ; 0 ; -3), b(3 ; -1 ; 0)\).
b) Đường thẳng \(∆\) song song với phương trình đi qua điểm \(m(2 ; 3 ; -5)\)
\(\left\{ \ma trận{x = – 2 + 2t \hfill \cr y = 3 – 4t \hfill \cr z = – 5t. \hfill \cr } \Có.\)
NGƯỜI CHIẾN THẮNG
a) Đường thẳng \(d\) đến \(a, b\) có vectơ chỉ phương là \((2, -1, 3)\) nên \ (d \) có dạng sau:
\(\left\{ \ma trận{x = 1 + 2t \hfill \cr y = – t \hfill \cr z = – 3 + 3t \hfill \cr} \Có.\)
Sử dụng \(t ∈ \mathbb{r}\).
b) Đường thẳng \(d // ∆\). trong đó \(\overrightarrow u (2, -4, -5)\) là vectơ chỉ phương của \(Δ\), nên nó cũng là vectơ chỉ phương của \(d\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là:
\(\left\{ \ma trận{x = 2 + 2s \hfill \cr y = 3 – 4s \hfill \cr z = – 5 – 5s \hfill \cr } \Có.\)
Sử dụng \(s ∈ \mathbb{r}\).
giaibaitap.me
