Toán 11 trang 168

bài 1 trang 168 sgk đại số và giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau:

a) \(y = \frac{x-1}{5x-2}\);

b) \(y = \frac{2x+3}{7-3x}\);

c) \(y = \frac{x^{2}+2x+3}{3-4x}\);

d) \(y = \frac{x^{2}+7x+3}{x^{2}-3x}\).

Giải pháp thay thế:

a) \( y’=\frac{\left ( x-1 \right )’.\left ( 5x-2 \right )-\left ( x-1 right ).\left ( 5x-2 \right )’}{\left ( 5x-2 \right )^{2}}\) = \( \frac{5x-2- \left ( x-1 \right ).5}{\left ( 5x-2 \right )^{2}}\) = \( \frac{3}{\left ( 5x -2 \right)^{2}}\).

b) \( y’=\frac{\left ( 2x+3 \right )’.\left ( 7-3x \right )-\left ( 2x+3 right ).\left ( 7-3x \right )’}{\left ( 7-3x \right )^{2}}\) = \( \frac{2\left ( 7-3x \right )-\left ( 2x+3 \right ).\left ( -3 \right )}{\left ( 7-3x \right )^{2}} ) = \( \frac{23}{\left ( 7-3x \right )^{2}}\).

c) \( y’=\frac{\left ( x^{2}+2x+3 \right )’.\left ( 3-4x \right )-\ Trái( x^{2} +2x+3\phải ).\trái ( 3-4x \phải )’}{\trái ( 3-4x \phải )^{2}}\) = \( \frac{\left ( 2x+2 \right ).\left ( 3-4x \right )-\left ( x^{2}+2x+3 \right ). (-4)}{(3-4x)^{2}}\) = \( \frac{-2(2x^{2}-3x-9)}{(3-4x)^{2 }}\).

d) \( y’=\frac{(x^{2}+7x+3)’.(x^{2}-3x)-(x^{2}+7x+3 ).(x^{2}-3x)’}{(x^{2}-3x)^{2}}\) = \( \frac{(2x-7).(x^{ 2}-3x)-(x^{2}+7x+3).(2x-3)}{(x^{2}-3x)^{2}}\) = \( \frac{ -10x^{2}-6x+9}{(x^{2}-3x)^{2}}\).

bài 2 trang 168 sgk đại số và giải tích 11

Giải bất phương trình sau:

a) \(y'<0\) và \({{{x^2} + x + 2} \ qua {x – 1}}\)

b) \(y’≥0\) và \(y = \frac{x^{2}+3}{x+1}\);

Xem Thêm: 99 Hình xăm Rắn: Đẹp, Ý nghĩa, Dễ thương, Hợp tuổi nhất

c) \(y’>0\) và \(y = \frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\).

Giải pháp thay thế:

a) Ta có \( y’=\frac{(x^{2}+x+2)’.(x-1)-(x^{2}+x+2). (x-1)’}{(x-1)^{2}}\) = \( \frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2} }\)

Do đó, \(y'<0\leftrightarrow \frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}\)

\( \leftrightarrow \left\{ \ma trận{ x \ne 1 \hfill \cr – 1 < x < 3 \hfill \cr} \right. leftrightarrow \)\(x∈ (-1;1) ∪ (1;3)\).

b) Ta có \( y’=\frac{(x^{2}+3)’.(x+1)-(x^{2}+3).(x+1 )’}{(x+1)^{2}}\) = \( \frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}\) .

Do đó, \(y’≥0 \leftrightarrow \frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}≥0 \)

\( \leftrightarrow \left\{ \ma trận{ x \ne – 1 \hfill \cr \left[ \ma trận{ x \ge 1 \hfill \cr x \le – 3 \hfill \cr} \right \hfill \cr} \right \leftrightarrow \left[ \ma trận{ x \ge 1 \hfill \cr x le – 3 \hfill \cr} \right \leftrightarrow x∈ (-∞;-3] ∪ [1;+∞)\).

c). Ta có \( y’=\frac{(2x-1)’.(x^{2}+x+4)-(2x-1).(x^{2 ) }+x+4)’}{(x^{2}+x+4)}=\frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4 )}\).

Do đó, \(y’>0 \leftrightarrow \frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)} >0\leftrightarrow – 2x^2+2x +9>0 \)\(\leftrightarrow \frac{1-\sqrt{19}}{2} < x < \frac{1+\ sqrt {19}} {2}\leftrightarrow x∈ \left ( \frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2} right) )

Bởi vì \(x^2+x +4 =\) \( \left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}\)+ \( \frac{15}{4} >0\), trong đó \(∀ x ∈ \mathbb r\).

bài 3 trang 169 sgk đại số và giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau:

a) \(y = 5sinx -3cosx\);

b) \( y=\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}\);

Xem Thêm: Quản trị tác nghiệp là gì? Quản trị tác nghiệp trong sản xuất?

c) \(y = x cotx\);

d) \(y = \frac{sinx}{x}\) + \( \frac{x}{sinx}\);

e) \(y = \sqrt{(1 +2tan x)}\);

f) \(y = sin\sqrt{(1 +x^2)}\).

Giải pháp thay thế:

a) \(y’=5cosx-3(-sinx)=5cosx+3sinx\);

b) \( y’={{(sinx+cos x)’.(sin x- cos x)-(sin x+cos x)(sin x-cos x)’}\ Trong {(sin x-cos x)^{2}}}\) = \( {{(cos x-sin x)(sin x -cos x)-(sin x+ cos x)(cosx+sinx) }\over{(sin x-cosx )^{2}}}\) = \( {{-2}\over{(sin x-cos x)^{2}}}\).

c) \(y’ = cotx +x. \left ( -\frac{1}{sin^{2}x} \right )= cotx – \frac{x}{sin ^{2}x}\).

d) \( y’=\frac{(sin x)’.x-sin x.(x)’}{x^{2}}\) +\( \ frac{(x)’.sin x-x(sin x)’}{sin^{2}x}\) = \( \frac{x.cosx-sinx}{x^{2}}+ \frac{sin x-x.cosx}{sin^{2}x}\)\( = (x.cosx -sinx) \left ( \frac{1}{x^{2}}- frac{1}{sin^{2}x} \right)\).

e) \( y’=\frac{(1+2tanx)’}{2\sqrt{1+2tanx}}\) = \( \frac{\frac{ 2}{cos^{2}x}}{2\sqrt{1+2tanx}}\) = \( \frac{1}{cos^{2}x\sqrt{1+2tanx} }\).

f) \(y’ = (\sqrt{(1+x^2)})’ cos\sqrt{(1+x^2)} \)\(= \ frac{(1+x^{2})’}{2\sqrt{1+x^{2}}}cos\sqrt{(1+x^2)} = \frac{x}{ \sqrt{1+x^{2}}}cos\sqrt{(1+x^2)}\).

bài 4 trang 169 sgk đại số và giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau:

a) \(y = \left( {9 – 2x} \right)(2{x^3} – 9{x^2} + 1)\);

b) \(y = \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )(7x -3)\);

Xem Thêm: Những hiểu biết cơ bản về chắp và lẹo

c) \(y = (x -2)\sqrt{(x^2+1)}\);

d) \(y = tan^2x +cotx^2\);

e) \(y = cos\frac{x}{1+x}\).

Giải pháp thay thế:

a) \(y’ = \left( {9 – 2x} \right)'(2{x^3} – 9{x^2} + 1) + \left( { { 9 – 2x} \right)(2{x^3} – 9{x^2} + 1)’\)

\(= – 2(2{x^3} – 9{x^2} + 1) + \left({9 – 2x} \right)(6{x^2} – 18x) \)

\(= – 16{x^3} + 108{x^2} – 162x – 2\).

b) \(y’ = \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )’.(7x -3) + \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )(7x -3)’\)

\(= \left ( \frac{3}{\sqrt{x}} +\frac{2}{x^{3}}\right )(7x -3) +7 \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )\).

c) \(y’ = (x -2)’\sqrt{(x^2+1)} + (x -2)\sqrt {(x^2+1)} ‘\)

\(= \sqrt {(x^2+1)} + (x -2)\frac{\left ( x^{2}+1 \right )’}{2 sqrt{x^{2}+1}}\)

\(= \sqrt {(x^2+1)} + (x -2) \frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}\)

\( = \sqrt {(x^2+1)} + \frac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+1}}\) = \( \frac{2x^{2}-2x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}\).

d) \(y’ = 2tanx.(tanx)’ – (x^2)’ \left ( -\frac{1}{sin^{2}x^{2}} \right )\) = \( \frac{2tanx}{cos^{2}x}+\frac{2x}{sin^{2}x^{2}}\).

e) \(y’ = \left ( \frac{1}{1+x} \right )’sin \frac{x}{1+x}\) = ( -\frac{1}{(1+x)^{2}}sin \frac{x}{1+x}\).

giaibaitap.me

Kiểm tra tiếng Anh trực tuyến

Bạn đã biết trình độ tiếng Anh hiện tại của mình chưa?
Bắt đầu làm bài kiểm tra

Nhận tư vấn lộ trình từ ACET

Hãy để lại thông tin, tư vấn viên của ACET sẽ liên lạc với bạn trong thời gian sớm nhất.