Tiếp tuyến là mảng kiến thức quan trọng mà học sinh được tiếp xúc trong môn toán lớp 9, vậy tiếp tuyến là gì? tính chất và kí hiệu để nhận biết tiếp tuyến? Đừng bỏ qua những bài viết dưới đây của muahangdambao.com, bạn có thể bổ sung thêm kiến thức cho mình nhé!
Tiếp tuyến là gì?
Được định nghĩa bởi lớp 9 tiếp tuyến, đây là một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất. Nó cũng sẽ vuông góc với bán kính đường tròn tại điểm đó.
Nêu khái niệm tiếp tuyến của đồ thị hàm số?
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm là tiếp tuyến trực tiếp với đồ thị hàm số tại điểm đó. Và công thức xác định tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm m(x1, x2) là: y = f'(x1)(x-x1) + x2.
Theo công thức trên ta dễ dàng nhận thấy đạo hàm bậc nhất của hàm số tại tọa độ điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến.
Tính chất của tiếp tuyến?
Để giải các bài toán liên quan chính xác và nhanh chóng hơn, các em cần nắm rõ tính chất của loại đường này. Dưới đây là một số thuộc tính bạn phải ghi nhớ!
- – Nếu một đường thẳng được định nghĩa là tiếp tuyến của đường tròn thì nó sẽ vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
- – Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm của đường tròn đi qua tâm đường tròn.
- – Từ một điểm ở ngoài đường tròn ta luôn kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn đó.
- – Hai tiếp tuyến của đường tròn sẽ cắt nhau tại một điểm bất kỳ sẽ là khoảng cách giữa hai tiếp điểm đó.
- – Nếu 2 tiếp tuyến của đường tròn tâm o tại a và b cắt p thì góc boa và bpa phụ nhau.
- Bước 1: Gọi m(x0; f(x0)) là một tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến k = f'(x0) sau đó được tính từ x0.
- Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d:y = f'(x0)(x – x0) + f(x0).
- Ở bước 3, thay x0 vừa thu được vào phương trình ở bước 2 để thu được phương trình tiếp tuyến mong muốn.
- – Khi giả sử cần viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y = ax + b thì thế này
- Giả sử bạn cần viết phương trình tiếp tuyến và biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = ax + b thì thế này
- Khi đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với đường thẳng y = ax + b thì việc đầu tiên cần làm là tìm tọa độ giao điểm của (c) với dòng đã cho. Khi đó bài toán trở về dạng 1.
- -Các em cần nắm vững các tính chất, định lý liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn.
- – Ghi chép hoặc tóm tắt một cách có hệ thống các thông tin trong chủ đề để tránh bỏ sót.
- – Đọc kỹ chủ đề để biết thông tin.
- – Thường xuyên làm thêm bài tập để rèn luyện tư duy nhanh nhạy.
- – Sử dụng máy tính bỏ túi khi cần thiết để có câu trả lời đúng.
+ Tia kẻ từ giao điểm đi qua tâm của đường tròn gọi là tia phân giác của hai tiếp tuyến.
+ Tia kẻ từ tâm qua giao điểm gọi là tia phân giác của 2 bán kính và đi qua giao điểm.
Dấu nhận biết tiếp tuyến là gì?
– Một đường thẳng sẽ là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó đi qua một điểm nằm trên đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
– Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó sẽ tiếp xúc với đường tròn.
– Một đường thẳng bất kỳ sẽ là tiếp tuyến của đường tròn nếu khoảng cách từ tâm của đường tròn đó bằng bán kính của đường tròn đó.
Cách viết phương trình tiếp tuyến
Dưới đây là một số phương pháp viết các điểm cắt, các em có thể tham khảo khi giải toán
Phương trình tiếp tuyến của đường thẳng
Tiếp tuyến d sẽ vuông góc với đường thẳng Δ nên ta có: y = ax + b => ka = -1 => k = -(1 /a).
Tóm lại: phương trình tiếp tuyến d sẽ vuông góc với một đường thẳng cho trước có hệ số góc k = -(1/k).
Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng
Tiếp tuyến d song song với đường thẳng Δ: y = ax + b => k = a.
Tóm lại: phương trình tiếp tuyến d sẽ song song với một đường thẳng có hệ số góc k = a cho trước.
Khi lập được phương trình tiếp tuyến các bạn nhớ kiểm tra lại tiếp tuyến đó có trùng với đường thẳng d hay không. Nếu khớp thì ta không nhận được kết quả đó.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
Ở bước đầu tiên, bạn cần tính đạo hàm y’=f(x). Từ đó có thể suy ra hệ số góc của tiếp tuyến k=y'(x0).
Bước 2: Ta có công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (c) tại điểm m(x0, y0) có dạng: y= y'(x0)(x – x0) + y0.
Lưu ý:
– Nếu đề cho tọa độ tiếp xúc với x0 thì cần tìm y0 bằng cách thế x0 vào hàm y = f(x0).
– Nếu câu hỏi cho tọa độ tiếp điểm y0, bạn cần tìm y0 bằng cách thế y0 vào hàm y = f(x0).
– Nếu câu hỏi yêu cầu bạn viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số (c): y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b Khi đó tọa độ của tiếp điểm x là nghiệm của phương trình giao điểm (c) và d. Phương trình tọa độ của giao điểm (c) và d sẽ có dạngf(x) = ax + b.
Đặc biệt: Nếu trục hoành ox có y = 0 và trục tung oy có x = 0.
Ngoài ra, bạn có thể sử dụng máy tính để tính như sau:
Nhận xét: Việc sử dụng máy tính bỏ túi để tính phương trình tiếp tuyến 1 điểm thực chất chỉ làm giảm bớt các bước tính toán thủ công. Sử dụng máy tính bỏ túi sẽ giúp bạn tính toán nhanh và chính xác hơn. Và, với sự ra đời của hình thức thi trắc nghiệm trong các kỳ thi đại học những năm gần đây, việc sử dụng máy tính cầm tay sẽ là phương pháp được nhiều giáo viên và học sinh ưa chuộng nhất.
Phương trình tiếp tuyến của một điểm
Vì điểm a (xa; ya) thuộc d nên ya=f'(x0)(xa – x0) + f(x0). Giải phương trình trên ta được x0.
Xem thêm: Cát tuyến là gì? Phương pháp vẽ và tính chất của đường cát là gì?
Các dạng bài tập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại m0(x0;y0)∈(c)
Giải pháp thay thế:
Bước đầu tiên: tính đạo hàm của hàm số, thay x0 vào hệ số góc
Áp dụng phương trình tiếp tuyến tại m0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*) ta được phương trình tiếp tuyến mong muốn.
Dạng 2: cho tọa độ tiếp điểm x0
Giải pháp thay thế:
– Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 để lấy hệ số góc.
– Thay x0 vào hàm ta tìm tọa độ tiếp điểm.
Áp dụng phương trình (*) ta được phương trình tiếp tuyến mong muốn.
Dạng 3: tọa độ tiếp điểm y0 cho trước
Giải pháp thay thế:
– Giải y0 = f(x0) để tìm x0.
– Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 để lấy hệ số góc.
Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến mong muốn.
Lưu ý: x0 có bao nhiêu giá trị ta có, không phải tiếp tuyến.
Dạng 4: hệ số góc tiếp tuyến cho trước k = y'(x0) = f'(x0)
Giải pháp thay thế:
-Tính đạo hàm và giải phương trình k = y'(x0) = f'(x0)Tìm x0
– Thay x0 vào hàm ta tìm được tọa độ tiếp điểm cần tìm.
Lưu ý: Số tiếp tuyến bằng số giá trị x0.
Một số dạng bài khác
<=>; y'(x0). a = -1 ⇔ y'(x0) = -1/a
…thì câu hỏi sẽ quay lại Dạng 4.
⇔ y'(x0) = a…Bài toán quay về Dạng 4.
Lưu ý:
Đối với hai đường thẳng d1: y = a1x + b1, trong đó a1 là hệ số góc của đường thẳng d1 và y = a2x + b2, trong đó a2 là hệ số góc của đường thẳng d2. Sau đó:
Bài tập:
Một số lưu ý quan trọng về tiếp tuyến
Bài viết Thế nào là tiếp tuyến, tính chất và kí hiệu của nó trên đây chắc hẳn đã giúp các bạn học sinh có thêm kiến thức để vận dụng vào thực tế. Chúc các bạn luôn đạt điểm cao trong các kì thi sắp tới. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào cần chúng tôi giải đáp, đừng ngại để lại bình luận bên dưới bài viết này nhé!
