Bài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức moa-vre (moivre) để tính căn bậc hai $n$ của một số phức, thông qua quá trình xây dựng công thức tổng quát và các ví dụ minh họa kèm theo. Miêu tả cụ thể.
Xem thêm: + Viết số phức dưới dạng hàm lượng giác + Tìm căn bậc hai của số phức
Phương pháp 1. Tính căn bậc hai của một số phức Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa mãn ${w ^2} = z$. + căn bậc hai của $0$ bằng $0.$ + $z \ne 0$ và $z = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )$ với $ r > 0.$ Đặt $w = r(c{\rm{os}}\theta + i \sin \theta )$ và $r >; 0$ Sau đó: ${{\rm {w}} ^2} = z$ ⇔ ${r^2}(c{\rm{os}}2\theta + i \sin 2\theta ) = r(c{\rm{ os}} varphi + i \sin \varphi )$ $ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {r^2} = r\\ 2\theta = \varphi + k2\pi , k \in z \end{array} \right.$ $ \leftrightarrow \left\{ \begin{ array}{l} r = \sqrt r \ \theta = \frac{\varphi }{2} + k\pi , k \in z \end{array} \right .$ Từ đây: Complex $z = r (c{ rm{os}}\varphi + i\sin \varphi )$ có $2$ và căn bậc hai là: ${{\rm {w} }_1} = \sqrt r left( {c{ rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{ 2}} \right)$ và ${{ \rm{w}} _2} = \sqrt r \left( {c{\rm{os}}\left( {\frac{ varphi } {2} + \pi } right) + i \ sin \left( {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right)} \right) $ $ = – \sqrt r \left( {c{\rm{ os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right ).$
2. Tính căn bậc hai của một số phức $n$Căn bậc hai $n$ của một số phức $z$ là một số phức $w$ sao cho ${w^n} = z$. trong đó $z \ne 0$ và $z = r(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi )$ trong đó $r >; 0.$ set $w = r( c{\rm{os}}\theta + i \sin \theta )$ và $r >; 0$ Sau đó: ${{\rm{w}}^n} = z \leftrightarrow { r^n}(c{\rm{osn}}\theta + i {\mathop{\rm sinn}\nolimits} \theta )$ $ = r(c{\rm{os} }\varphi + i \sin \varphi )$ $ \leftrightarrow \left\{ \begin {array}{l} {r^n} = r\\ n\theta = varphi + k2\pi , k \in z \end{array} \right.$ $ \ leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = \sqrt[n ]{r}\\ \theta = \frac{\varphi }{n} + \frac {{k2\pi }}{n}, k \in z \end{array} \right.$ Bằng cách chọn $k = 0, 1, 2, …, n-1$, chúng ta có được căn bậc hai $n$ của $n $ $z$ là: ${w_1} = \sqrt[n ]{r }\left( {\cos \frac{\varphi }{n} + i\sin frac{\varphi }{n}} \right).$ ${w_2} $ = $ \sqrt[n]{r}\left( {\cos \left( {\frac { \varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n }} right) + i\sin \left( {\frac{\varphi }{n} + frac{{2\pi }}{n}} \right)} \ phải). $ ….. ${w_n}$ = $\sqrt[n]{r}(\cos left( {\frac{\varphi }{n} + \frac{ {2\pi (n – 1)}}{n}} \right)$ $ + i\sin \left ( {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi (n – 1 )}}{n}} \right)).$ [ads] Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau và viết chúng dưới dạng hàm lượng giác ${\rm {w}} = \frac {1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.$
Ta có $w = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \frac{\pi }{3} + i \sin \frac{\pi }{3}.$ Đặt $z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)$ với $r > ; 0$ là căn bậc hai của $w$, ta có: ${z^2} = w$ ⇔ ${r^2}\left( {\cos 2\varphi + i\sin 2 varphi } \right)$ $ = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}$ $ \leftrightarrow \left\ { begin{array}{l} r = 1\\ 2\varphi = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in z \end{array} right.$ $ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ \varphi = \frac{\pi }{6} + k\ pi , k \in z \end{array} \right.$ Vậy $w$ có hai căn bậc hai: ${z_1} = \cos \frac{\pi }{6} + i \ sin frac{\pi }{6}$ và ${z_2} = \cos \frac{{7\pi }}{6} + i\sin \frac{{7 pi } { 6}.$
Ví dụ 2. Tính căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác: $w = – 1 + i\sqrt 3 .$
Ta có: $w = – 1 + i\sqrt 3 = 2\left( { – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2} } \right)$ $ = 2\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3} } \right).$ suy ra rằng $w$ có mô đun $r = 2$ và lũy tích $\theta = \frac{{2\pi }}{3}.$ nên căn bậc hai của $w$ là một số phức $z$ với: modulo $r = \sqrt[3]{2}$ và acgumen $\phi = \frac{\theta }{3} + \frac{{ k2 pi }}{3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in z.$ Lấy $k = 0 , 1,2$ Khi đó $\varphi $ có ba giá trị: ${\varphi _1} = \frac{{2\pi }}{9}$, ${\varphi _2} = \ frac { {2\pi }}{9} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{8\pi }}{9}$, ${\ varphi _3 } = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{14\pi }}{9}.$ Vậy $ w = – 1 + i\sqrt 3 $ có căn bậc hai là $3$: ${z_1} = \sqrt[3]{2}\left( {\cos \frac{{2) pi }}{ 9} + i\sin \frac{{2\pi }}{9}} \right)$, ${z_2} = \sqrt[3]{2}\left ( { \cos \frac{{8\pi }}{9} + i\sin \frac{{8\pi }}{9}} \right)$, ${z_3} = \ sqrt[3 ]{2}\left( {\cos \frac{{14\pi }}{9} + i\sin \frac{{14\pi }}{9}} right).$
Ví dụ 3. Tính căn bậc hai của các số phức sau và viết dưới dạng lượng giác: $w = i.$
Ta có: $w = i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}$ môđun $r = 1$ và An bộ tích lũy $\theta = \frac{\pi }{2}.$ suy ra rằng căn bậc hai của $w$ là một số phức $z$ với: modulo $r = 1$ và một bộ tích lũy $\varphi = \frac{\theta }{4} + \frac{{k2\pi }}{4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi } }{2},k \in z.$ Lấy $k = 0.1,2,3$ ta được giá trị $4$ $\varphi$: ${\varphi _1} = \frac{ pi } {8}$, ${\varphi _2} = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi } }{ 8 }$, ${\varphi _3} = \frac{\pi }{8} + \pi = \frac{{9\pi }}{8}$, ${\ varphi _4 } = \frac{\pi }{8} + \frac{{3\pi }}{2} = \frac{{13\pi }}{8}.$
