Công thức tính diện tích hình elip và phương trình elip

Bạn có biết hình elip là gì không? Công thức diện tích elip? Phương trình elip? Nếu chưa biết bạn có thể đọc bài viết dưới đây. dienich.net sẽ lần lượt trả lời các câu hỏi trên, tất nhiên sẽ có ví dụ minh họa cho từng công thức để các bạn hiểu tường tận hơn. Hãy bắt đầu nào

1. một hình elip là gì?

Elip là tập hợp các điểm p trên một mặt phẳng luôn thỏa mãn: f1p + f2p = 2a (*)

Trong hình trên:

• p là một điểm trên elip luôn thỏa mãn (*)
• Elip có hai tiêu điểm là f1( – c; 0) và f2( c; 0). Khoảng cách từ f1 đến f2 gọi là tiêu cự: f1f2 = 2c (**)
• Ta dễ dàng chứng minh được b2 = a2 – c2 (***)

2. Diện tích hình elip

Giả sử rằng hình elip có:

• Chiều dài hình trụ lớn ab = 2a
• Độ dài của trục nhỏ là cd = 2b

Khi đó công thức tính diện tích hình elip là s = π.a.b

3. Phương trình elip

Dạng chung của hình elip là:



Ở đâu:

• Chiều dài hình trụ lớn ab = 2a
• Độ dài của trục nhỏ là cd = 2b
• Khoảng cách giữa hai tiêu điểm f1f2 = 2c
• Nhớ quan hệ b2 = a2 – c2

4. Thực hành

Bài tập 1. Tính diện tích hình elip, biết:

a) Hình trụ chính dài 6 cm, trục phụ dài 4 cm

b) Chiều dài của hình trụ chính ab = 4 cm và chiều dài trục phụ cd = 3,5 cm

c) Điểm xa nhất trên elip cách gốc 5 cm và điểm gần nhất trên elip cách gốc 4 cm.

Hướng dẫn giải pháp

a) Theo chủ đề

• ab = 6 cm => 2a = 6 cm => a = 3 cm.
• cd = 4 cm => 2b = 4 cm => a = 2 cm.

Công thức diện tích hình elip: s = π.a.b = π.3.2 = 6π (cm2)

b) Ta có:

• ab = 4 cm => 2a = 4 cm => a = 2 cm.
• cd = 3,5cm => 2b = 3,5cm => b = 1,75cm.

Công thức diện tích hình elip: s = π.a.b = π.2.1,75 = 3,5π (cm2)

c) Theo chủ đề:

• Điểm xa nhất trên hình elip là a = 5 cm
• Điểm gần nhất trên elip cách gốc tọa độ b = 4 cm.

Cách sử dụng công thức tính diện tích hình elip: s = π.a.b = π.5.4 = 20π (cm2)

Bài tập 2. Biết rồi thì viết phương trình của elip

a) a = 4 cm, b = 3 cm

b) a = 6 cm, c = 5 cm

Hướng dẫn giải pháp

a) Theo chủ đề:

• a = 4 cm
• b = 3cm

Dạng của phương trình hình elip là:

$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{4^3}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$

b) Theo chủ đề

• a = 5 cm
• c = 3 cm => $b = \sqrt {{a^2} – {c^2}} = \sqrt {{5^2} – {3^2}} = 4\left ( {cm} \right)$

Theo phép biến đổi trên ta suy ra phương trình elip được viết là:

$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{5^3}}} + \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1 \leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$

Qua bài này các em đã biết thế nào là hình elip, các công thức tính chu vi, diện tích hình elip.