Giải phương trình sau:
lg a
\(2cos^2x – 3cosx + 1 = 0\)
Giải pháp thay thế:
Đặt \(t = \cos x\), trả về phương trình bậc hai ẩn t.
Giải thích chi tiết:
\(2cos^2x – 3cosx + 1 = 0\)
Kết hợp \(t = cosx\) với điều kiện \(-1 ≤ x ≤ 1\) ta có:
\(2{t^2} – 3t + 1 = 0 \leftrightarrow \left[ \matrix{t = 1 \hfill \cr t = {1 \trên 2} \hfill \cr} \Có.\)
Với \(t = 1\), ta có: \(cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ \mathbb{z}\)
Với \(t = {1 \ trên 2}\) ta có: \(\cos x = \frac{1}{2} \leftrightarrow x = \pm \frac {\pi }{3} + k2\pi \,\,\left({k \in z} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: \(x = k2\pi ,x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi ,k \in \mathbb{ z }\)
lg b
\(25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25\)
Giải pháp thay thế:
Rút phương trình về dạng tích.
Giải thích chi tiết:
Ta có:
\(25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25\)
\(⇔ 25(1-cos^2x) + 30sinxcosx + 9cos^2x= 25\)
\(⇔ -25 cos^2x + 30sinxcosx + 9cos^2x = 0\)
\(⇔ -16cos^2x + 30sinxcosx = 0\)
\(\eqalign{& \leftrightarrow – 2\cos x(8\cos x – 15\sin x) = 0 \cr & \leftrightarrow \left[ \ Ma trận {\cos x = 0 \hfill \cr 8\cos x – 15\sin x = 0 \hfill \cr} \right \leftrightarrow \left[ \ma trận{ cos x = 0 \hfill \cr \tan x = {8 \over {15}} \hfill \cr} \right. \cr & \leftrightarrow \left[ \ ma trận {x = {\pi \ trên 2} + k\pi \hfill \cr x = \arctan {8 \trên {15}} + k\pi \hfill \cr} to.,k \in \mathbb{z} \cr} \)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,x = \arctan \frac{8}{ { 15 }} + k\pi \,\,\left( {k \in z} \right)\)
lg c
\(2sinx + cosx = 1\)
Giải pháp thay thế:
Một phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x = c\) chia cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \ (\sqrt {{a^2} + {b^2}} )
Giải thích chi tiết:
Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt 5 \) ta được:
\({2 \over {\sqrt 5 }}\sin x + {1 \over {\sqrt 5 }}\cos x = {1 \over {\sqrt 5 }}\) (*)
Bởi vì \({\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{ \sqrt 5 }}} \right)^2} = 1\) Vậy có một góc \(α\) thỏa mãn:
\(\left\{ \ma trận{\sin \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }} \hfill \cr \cos \alpha = {1 \ qua {\sqrt 5 }} \hfill \cr} \right.\)
Phương trình (*) khi đó trở thành:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sin x\sin \alpha + \cos x\cos \ alpha = \cos \alpha \\\leftrightarrow \cos \left( {x – \alpha } \right) = \cos \alpha \\\leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}x – \alpha = \alpha + k2\pi \\x – \alpha = – \alpha + k2\pi \end{array} right.\\\leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\alpha + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left({k \in z} \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \({x = 2\alpha + k2\pi ;x = k2\pi }\) \((k \in z)\) .
lgd
\(sin x + 1.5cot x = 0\)
Giải pháp thay thế:
Biến đổi, đơn giản hóa và chuyển đổi các phương trình thành dạng phương trình bậc cao hơn của các hàm lượng giác.
Giải thích chi tiết:
Điều kiện\(sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ \mathbb{z}\).
Biến đổi phương trình đã cho:
\(\eqalign{& \sin x + {3 \over 2}.{{\cos x} \over {\sin x}}=0 \leftrightarrow 2{ sin ^2}x + 3\cos x = 0 \cr & \leftrightarrow 2(1 – {\cos ^2}x) + 3\cos x = 0 \cr & \ leftrightarrow 2{\cos ^2}x – 3\cos x – 2 = 0 \,\,\,\,(*)\cr} \)
Đặt điều kiện \(t = cosx\) thành \(-1 \le t \le 1\)
Phương trình (*) khi đó trở thành:
\(2{t^2} – 3t – 2 = 0 \leftrightarrow \left[ \matrix{t = 2 \hfill\,\,\,\text{(Type ) )} \cr t = {{ – 1} \ trên 2} \hfill \,\,\,(tm)\cr} \right.\)
Với \(t = – \frac{1}{2} \leftrightarrow \cos x = – \frac{1}{2} \leftrightarrow x = \pm \frac{{ 2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in z} \right)\)
