lg b
Bằng chứng: Với \(a > b >0\) thì \(\sqrt a – \sqrt b < \sqrt {a – b} \)
Giải pháp thay thế:
+) Định lý so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm:
\( a< b \leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\).
+) \( \sqrt{ a^2} = a\) và \( a \ge 0\).
+) Sử dụng kết quả Bài 26 Trang 16 SGK Toán 9 Tập 1: Sử dụng hai số dương \(a,b\) ta có: \(\sqrt {a + b } < sqrt a + \sqrt b \)
Giải thích chi tiết:
\(a > b > 0\), vì vậy \(\sqrt a ,\sqrt b \) và \(\sqrt {a – b} \) đều rõ ràng và tích cực.
Chúng ta sẽ so sánh \(\sqrt a \) và \(\sqrt {a – b} + \sqrt b \)
Theo kết quả từ Bài 26 Trang 16 SGK Toán 9 Tập 1 với hai số dương \(a-b\) và \(b,\) ta sẽ có:
\(\sqrt {a – b} + \sqrt b > \sqrt {a – b + b} \)
Suy luận:
\(\sqrt {a – b} + \sqrt b > \sqrt a \leftrightarrow \sqrt {a – b} > \sqrt a – \sqrt b \)
Vậy \(\sqrt a – \sqrt b < \sqrt {a – b} \) và \(a > b > 0.\)
Tùy chọn 1:
Với \(a > b > 0\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a > \sqrt b \ a – b > 0\end{array} \right \rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a – \sqrt b > 0\ \sqrt { a – b} > 0\end{array} \right.\)
Xét \(\sqrt a – \sqrt b < \sqrt {a – b} \) , bình phương cả hai vế ta được \({\left( {\sqrt a – sqrt b } \right)^2} < {\left( {\sqrt {a – b} } \right)^2} \)\(\leftrightarrow {\left( { \sqrt a } \right)^2} – 2.\sqrt a .\sqrt b + {\left( {\sqrt b } \right)^2} < a – b )
\( \leftrightarrow a – 2\sqrt {ab} + b < a – b \)\(\leftrightarrow 2b – 2\sqrt {ab} < 0\)
\( \leftrightarrow 2\sqrt b \left( {\sqrt b – \sqrt a } \right) < 0\) luôn đúng vì \(\ left { \begin{array}{l}\sqrt b > 0\\\sqrt b – \sqrt a < 0\,\left( {do\,0 < b < ;a } \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(\sqrt a – \sqrt b < \sqrt {a – b} \) và \(a > b > 0.\)
Lựa chọn 2:
\(a > b > 0\), vì vậy \(\sqrt a ,\sqrt b \) và \(\sqrt {a – b} \) đều rõ ràng và tích cực.
Chúng ta sẽ so sánh \(\sqrt a \) với \(\sqrt {a – b} + \sqrt b \)
Ta có \(\sqrt {a – b} + \sqrt b \) là một số dương và
\({\left( {\sqrt {a – b} + \sqrt b } \right)^2} \)\(= a – b + 2\sqrt {b \left( {a – b} \right)} + b \)\(= a + 2\sqrt {b\left( {a – b} \right)} \)
Rõ ràng là \(2\sqrt {b(a – b)} > 0\) nên \({\left( {\sqrt {a – b} + \sqrt b } \ phải)^2} > a\) (1)
Ta có \(\sqrt a \) là một số không âm và \({\left( {\sqrt a } \right)^2} = a\) ( 2 )
Được suy ra từ (1) và (2)
\({\left( {\sqrt {a – b} + \sqrt b } \right)^2} > {\left( {\sqrt a } \right) ^ 2}\) (3)
Theo công thức (3) theo định lý so sánh căn bậc hai số học ta được
\(\sqrt {{{\left( {\sqrt {a – b} + \sqrt b } \right)}^2}} > \sqrt {{{\ ) Trái( {\sqrt a } \phải)}^2}} \)
Hoặc \(\left| {\sqrt {a – b} + \sqrt b } \right| > \left| {\sqrt a } \right|\)
Hoặc \(\sqrt {a – b} + \sqrt b > \sqrt a \)
Từ kết quả \(\sqrt a < \sqrt {a – b} + \sqrt b \), ta có \(\sqrt a – \sqrt b < \ căn bậc hai {a – b} \)
loigiaihay.com
