Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ \(v = ( -1;2)\), hai điểm\(a(3;5)\), \(b ( – ) 1; 1)\) và đường thẳng d có phương trình \(x-2y+3=0\).
lg a
Tìm tọa độ điểm a’, b’ theo thứ tự ảnh a, b bằng phép dịch \(\overrightarrow{v}\)
Giải pháp thay thế:
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: phép tịnh tiến véc tơ \(\overrightarrow v \left({a;b} \right)\) biến điểm m(x;y) thành điểm m'(x ‘;y’). Khi đó \(\overrightarrow {mm’} = \overrightarrow v \leftrightarrow \left\{ \matrix{x’ – x = a \hfill \cr y’ – y = b \hfill \cr} \right \leftrightarrow \left\{ \ma trận{x’ = x + a \hfill \cr y’ = y + b \hfill \ cr} \Có.\)
Giải thích chi tiết:
Giả sử \(a’=(x’; y’)\). sau đó
\(t_{\vec{v}} (a) = a’\) ⇔ \(\left\{\begin{ma trận} {x}’= 3 – 1 = 2\\ {y}’= 5 + 2 = 7 \end{matrix}\right.\) \(\rightarrow a’ = (2;7)\)
Tương tự, ta thấy rằng \(b’ =(-2;3)\)
lg b
Tìm tọa độ của điểm c bằng phép dịch \(\overrightarrow{v}\) sao cho a là hình của c
Giải pháp thay thế:
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: phép tịnh tiến véc tơ \(\overrightarrow v \left({a;b} \right)\) biến điểm m(x;y) thành điểm m'(x ‘;y’). Khi đó \(\overrightarrow {mm’} = \overrightarrow v \leftrightarrow \left\{ \matrix{x’ – x = a \hfill \cr y’ – y = b \hfill \cr} \right \leftrightarrow \left\{ \ma trận{x’ = x + a \hfill \cr y’ = y + b \hfill \ cr} \Có.\)
Giải thích chi tiết:
Ta có \(a = t_{\vec{v}} (c)\) ⇔ \(c= t_{\vec{-v}} (a) \) (với ( – \overrightarrow v = \left( {1; – 2} \right)\))
\( \rightarrow \left\{ \ma trận{x’ = 3 + 1 = 4 \hfill \cr y’ = 5 – 2 = 3 \hfill \cr} \right. \rightarrow c\left( {4;3} \right)\)
lg c
Lấy phương trình của d’ bằng phép dịch \(\overrightarrow{v}\)
Giải pháp thay thế:
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: phép tịnh tiến véc tơ \(\overrightarrow v \left({a;b} \right)\) biến điểm m(x;y) thành điểm m'(x ‘;y’). Khi đó \(\overrightarrow {mm’} = \overrightarrow v \leftrightarrow \left\{ \matrix{x’ – x = a \hfill \cr y’ – y = b \hfill \cr} \right \leftrightarrow \left\{ \ma trận{x’ = x + a \hfill \cr y’ = y + b \hfill \ cr} \Có.\)
Giải thích chi tiết:
Phương pháp 1, sử dụng biểu thức tọa độ tịnh tiến
Gọi \(m(x;y)\), \(m’ = t_{\vec{v}} = (x’; y’)\). sau đó
\( \rightarrow \left\{ \ma trận{x’ = x – 1 \hfill \cr y’ = y + 2 \hfill \cr} \right. \leftrightarrow \left\{ \ma trận{x = x’ + 1 \hfill \cr y = y’ – 2 \hfill \cr} \right.\)
Ta có \(m ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0\)\( ⇔ (x’+1) – 2(y’-2)+3=0 ⇔ x’ -2y’ +8=0 \)
\(⇔ m’ ∈ d’\) có phương trình \(x-2y+8=0\).
Vậy \(t_{\vec{v}}(d) = d’:\,\, x-2y+8=0\)
Phương pháp 2. Sử dụng thuộc tính dịch
Gọi \(t_{\vec{v}}(d) = d’\).
Khi đó \(d’\) song song hoặc trùng với \(d\) nên dạng phương trình của nó là \(x-2y+c=0\) \( left ( {c \ne 3} \right)\).
Lấy một điểm trong \(d\), chẳng hạn như \(b(-1;1)\) và gọi \(b’ = {t_{\overrightarrow v }} left( b \ right) \rightarrow \left\{ \matrix{x’ = – 1 – 1 = – 2 \hfill \cr y’ = 1 + 2 = 3 \hfill cr} \right. \) \(\rightarrow b’\left( { – 2;3} \right) \in d’\)
\( \rightarrow – 2 – 2.3 + c = 0 \leftrightarrow c = 8\)
Vậy phương trình đường thẳng \(\left({d’} \right):\,\,x – 2y + 8 = 0\).
