bài 1 trang 132 sgk đại số 11
Sử dụng định nghĩa để tìm các ràng buộc sau:
a) \(\underset{x\rightarrow 4}{lim}\frac{x+1}{3x – 2}\);
b) \(\underset{x \rightarrow +\infty }{lim}\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\).
Người chiến thắng:
a) Hàm \(f(x) = \frac{x +1}{3x – 2}\) được định nghĩa trong \(\mathbb r\dấu gạch chéo ngược \left\{ {{ 2 \trên 3}} \right\}\) Ta có \(x = 4 \in \left( {{2 \trên 3}; + \infty } \ phải ) )
Giả sử \((x_n)\) là một dãy số bất kỳ và \(x_n ∈ \left( {{2 \over 3}; + \infty } \right)\) ; (x_n≠ 4\) và \(x_n→ 4\) khi \(n \to + \infty \).
Ta có \(\lim f(x_n) = \lim \frac{x_{n} +1}{3x_{n} – 2} = \frac{4 + 1}{3. 4 – 2} = \frac{1}{2}\).
Vậy \(\underset{x\rightarrow 4}{\lim}\) \(\frac{x +1}{3x – 2}\) = \(\ Điểm {1}{2}\).
b) Hàm \(f(x)\) = \(\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\) được định nghĩa trong \ ( mathbb r\).
Giả sử \((x_n)\) là một dãy số bất kỳ và \(x_n→ +∞\) khi \(n \to + \infty \)
Ta có \(\lim f(x_n) = \lim \frac{2-5x^{2}_{n}}{x^{2}_{n}+3}= lim lim \frac{\frac{2}{x^{2}_{n}}-5}{1+\frac{3}{x^{2}_{n}}} = -5 \).
Vậy \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3} = -5\).
bài 2 trang 132 sgk đại số 11
Chức năng
\(f(x) = \left\{ \ma trận{ \sqrt x + 1 \text{ if}x\ge 0 \hfill \cr 2x\text{ if}x\ge 0 \hfill \cr 2x\text{ }x\ge 0 \hfill \cr 2x\text{ nếu }x < 0 \hfill \cr} \right.\)
Và dãy số \((u_n)\) và \(u_n= \frac{1}{n}\), \((v_n)\) và \(v_n= – \frac{1}{n}\).
Tính \(\lim u_n\), \(\lim v_n\), \(\lim f (u_n)\) và \(\lim (v_n) ).
Khi \(x → 0\), nhận xét gì về giới hạn của hàm số đã cho?
Hướng dẫn giải quyết:
Ta có \(\lim u_n\)= \(\lim \frac{1}{n}= 0\); \(\lim v_n= \lim (- \frac{1}{n}) = 0\).
Sử dụng \(u_n=\frac{1}{n} > 0\) và \(v_n= -\frac{1}{n} < 0\) n\in { mathbb n}^*\)
, vì vậy \(f(u_n)= \sqrt{\frac{1}{n}}+1\) và \(f(v_n) = -\frac{2}{n }\).
Từ đó\( \lim f(u_n)= \lim (\sqrt{\frac{1}{n}}+ 1) = 1\); \(\lim f (v_n)= lim (-\frac{2}{n}) = 0\).
Vì \(u_n → 0\) và \(v_n → 0\), nhưng hàm \(\lim f(u_n) ≠ \lim f(v_n)\) ( y = f(x)\) không có giới hạn tại \(x → 0\).
bài 3 trang 132 sgk đại số 11
Các giới hạn sau được tính toán:
a) \(\underset{x\rightarrow -3}{lim}\) \(\frac{x^{2 }-1}{x+1}\);
b) \(\underset{x\rightarrow -2}{lim}\) \(\frac{4-x^{2}}{x + 2}\);
c) \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{\sqrt{x + 3}-3}{x-6}\) ;
d) \(\underset{x\rightarrow +\infty {lim}\) \(\frac{2x-6}{4-x}\);
e) \(\underset{x\rightarrow +\infty {lim}\) \(\frac{17}{x^{2}+1}\);
f) \(\underset{x\rightarrow +\infty {lim}\) \(\frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x} ).
Hướng dẫn giải quyết:
a) \(\underset{x\rightarrow -3}{lim}\) \(\frac{x^{2}-1}{x+1}\) = (\frac{(-3)^{2}-1}{-3 +1} = -4\).
b) \(\underset{x\rightarrow -2}{lim}\) \(\frac{4-x^{2}}{x + 2}\) = (\underset{x\rightarrow -2}{lim}\) \(\frac{ (2-x)(2+x)}{x + 2}\) = \( underset{x\rightarrow -2}{lim} (2-x) = 4\).
c) \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{\sqrt{x + 3}-3}{x-6}\) = \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{(\sqrt{x + 3}-3)(\sqrt{x + 3}+3 )}{(x-6) (\sqrt{x + 3}+3 )}\) = \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac {x +3-9}{(x-6) (\sqrt{x + 3}+3 )}\) = \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) (\frac{1}{\sqrt{x+3}+3}\) = \(\frac{1}{6}\).
d) \(\underset{x\rightarrow +\infty {lim}\) \(\frac{2x-6}{4-x}\) = \( underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{2-\frac{6}{x}}{\frac{4}{x}-1 } = -2\).
e) \(\underset{x\rightarrow +\infty {lim}\) \(\frac{17}{x^{2}+1} = 0\)bởi vì \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \((x^2+1) =\) \(\underset{x\rightarrow + infty }{lim} x^2( 1 + \frac{1}{x^{2}}) = +∞\).
f) \(\underset{x\rightarrow +\infty {lim}\) \(\frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x} ) = \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{-2+\frac{1}{x} -\frac{ 1 }{x^{2}}}{\frac{3}{x^{2}} +\frac{1}{x}} = -∞\), vì \(\frac{ 3 }{x^{2}}+\frac{1}{x} > 0\) và \(∀x>0\).
Bài giảng 4 trang 132 SGK Đại số 11
Các giới hạn sau được tính toán:
a) \(\underset{x\rightarrow 2}{lim}\) \(\frac{3x -5}{(x-2)^{2}}\);
b) \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}\);
c) \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}\).
Hướng dẫn giải quyết:
a) Ta có \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim} (x – 2)^2= 0\) và \((x – 2)^2> 0 \) với \(∀x ≠ 2\) và \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim} (3x – 5) = 3.2 – 5 = 1 > 0\) .
Do đó \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim}\) \(\frac{3x -5}{(x-2)^{2}} = + ).
b) Ta có \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim} (x – 1)=0\) và \(x – 1 < 0 ) với \(∀x < 1\) và \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim} (2x – 7) = 2.1 – 7 = -5 < ;0 \).
Do đó \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim}\frac{2x -7}{x-1} = +∞\).
c) Ta có \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim} (x – 1) = 0\) và \(x – 1 > 0 ) với \(∀x > 1\) và \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim} (2x – 7) = 2.1 – 7 = -5 < ;0 \).
Do đó \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}= -∞\) .
giaibaitap.me
