Để có thể giải bất phương trình logarit bạn cần có kiến thức về hàm logarit mà chúng ta đã xem ở bài viết trước, nếu bạn không nhớ. Bạn có thể xem các thuộc tính của hàm logarit tại đây.
» Không thể bỏ qua: Bộ đề luyện thi vào THPT Chuyên Toán 12
I. Phương trình và phương trình logarit
1. Phương trình logarit cơ bản
+ Phương trình logax = b (0<a≠1) luôn có nghiệm duy nhất x = ab với mỗi b
2. Bất đẳng thức logarit cơ bản
+ Xét bất đẳng thức logax >B:
– nếu a>1 thì logax > b⇔x > ab
– nếu 0<a; b ⇔ 0 < x < ab
Hai. Phương pháp giải bất phương trình mũ logarit
1. Giải phương trình logarit, sử dụng phương pháp cơ bản giống như bất kỳ phương trình logarit nào
logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x)
logaf(x) = b ⇔ f(x) = ab
+ Lưu ý: Đối với pt logarit và bpt ta cần đặt điều kiện là biểu thức logaf(x) có nghĩa, tức là f(x) ≥ 0.
2. Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ và lấy số thực logarit
+ Đối với phương trình, logarit bất kỳ có thể biểu diễn bằng logaf(x) thì ta có thể sử dụng phép ẩn phụ t = logaf(x).
+ Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức logaf(x) biểu diễn f(x) >; 0, chúng ta cần chú ý đến đặc điểm của logarit pt và bpt đang xét (có chứa nghiệm không, có ẩn ở mẫu) thì ta phải Đặt điều kiện để các pt, bpt này có nghĩa.
3. Giải phương trình và sử dụng phương pháp mũ để tìm logarit thực
+ Đôi khi ta không giải được một phương trình, dù logarit có về cùng cơ số hay dùng thêm một lần bấm, thì ta có thể đặt x = tại pt, bpt cơ bản (phương pháp này gọi là lũy thừa)
+Định danh:Loại pt này thường chứa nhiều cơ số khác nhau
Hai. Bài tập về phương trình logarit và thực thể logarit
* Sử dụng cùng một phương pháp cơ bản để giải logarit của pt, bpt
Bài tập 1: Giải phương trình sau
a) log3(2x+1) = log35
b) log2(x+3) = log2(2×2-x-1)
c) log5(x-1) = 2
d) log2(x-5) + log2(x+2) = 3
* Giải pháp:
a) Đơn vị: 2x+1 > 0 ⇔ x>(-1/2)
pt ⇔ 2x+1 = 5 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (thỏa mãn)
b) Đơn vị: x+3>0, 2×2 – x – 1 > 0 ta được: x>1 hoặc (-3)<x<(-1/2)
Ta có: log2(x+3) = log2(2×2-x-1) ⇔ x+3 = 2×2 – x – 1 ⇔ 2×2 – 2x – 4 = 0
⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔ x = -1 (tương ứng) hoặc x = 2 (tương ứng)
c) Đơn vị: x – 1 > 0 ⇔ x > 1
Ta có: log5(x-1) = 2 ⇔ x-1 = 52 ⇔ x = 26 (thoả)
d) Đơn vị: x-5 > 0 và x + 2 > 0 ta được: x > 5
Ta có: log2(x-5) + log2(x+2) = 3 ⇔ log2(x-5)(x+2) = 3 ⇔ (x-5)(x+2) = 23
p>
⇔ x2 – 3x -18 = 0 ⇔ x = -3 (loại) hoặc x = 6 (trận)
* Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ
Bài tập 2: Giải phương trình sau
một)
hai)
c)
d)
e) 1 + log2(x-1) = log(x-1)4
* Giải pháp:
a) Địa chỉ: x>0
Ta đặt t=log3x rồi pt ⇔ t2 + 2t – 3 = 0 ⇔ t =1 hoặc t = -3
t = 1 log3x = 1 x = 3
t = -3 ⇔ log3x = -3 ⇔ x = 3-3 = 1/27
b) 4log9x + logx3 – 3 = 0 Đánh dấu: 0<x≠1
pt 2log3x + 1/log3x -3 = 0
Ta đặt t = log3x thì pt ⇔ 2t + 1/t – 3 = 0 ⇔ 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t=1 hoặc t = 1/2
t = 1 ⇔ log3x = 1 ⇔ x = 3 (thỏa mãn)
t = 1/2 ⇔ log3x = 1/2 ⇔ x = √3 (thỏa mãn)
c) Định nghĩa: log3x nghĩa là ⇔ x > 0
Mẫu số của phân số phải khác 0: (5+log3x)≠0 và (1 +log3x)≠0 ⇔ log3x ≠ -5 và log3x ≠ -1
Chúng tôi đặt t = log3x (t ≠ -1, t ≠ -5) và sau đó:
⇔ (1+t) +2(5+t)=(1+t)(5+t) ⇔ 3t + 11 = t2 + 6t + 5 ⇔ t2 + 3t – 6 = 0
⇔(Thiệu Đức Khả)
Thay t=log3x, ta có: x =3t1 và x =3t2
d) Địa chỉ: x>0
pt⇔
Đặt t=log2x ta được pt: t2 + t – 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2
t = 1 x = 2
t = -2 x = 1/4
e) 1 + log2(x-1) = log(x-1)4
Mục: 0<(x-1)≠1 ⇔ 1<x≠2
Đặt t = log2(x-1) ta có pt: 1+t = 2/t ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2
t = 1 x-1 = 2 ⇔ x = 3
t = -2 ⇔ x-1 = 1/4 ⇔ x= 5/4.
* Giải phương trình logarit bằng phương pháp mũ
Bài tập 3: Giải phương trình sau:
a) ln(x+3) = -1 + 3
b) log2(5 – 2x) = 2 – x
* Giải pháp:
a) eq: x-3>0 ⇔ x>3 Trong điều kiện này ta lũy thừa cả hai vế của pt đã cho, ta được pt:
(giao thức)
b) log2(5 – 2x) = 2 – x
Đăng ký: 5 – 2x > 0 ⇔ 2x < 5
điểm
Đặt t=2x (t>0,t<5 do 2x<5) ta được: 5 – t = (4/t) ⇔ t2 – 5t + 4 = 0
t = 1 (đồng ý) hoặc t = 4 (đồng ý)
t = 1 x = 0
t = 4 x = 2
Bài tập 4: Giải các bất phương trình sau
a) log0,5(x+1) log2(2-x)
b) log2x – 13logx + 36 > 0
Giải pháp:
a) Đơn vị: x+1>0 và 2-x>0 ⇔ -1<x<2
log0,5(x+1) ≤ log2(2-x) ⇔ -log2(x+1) ≤ log2(2-x) ⇔ log2(2-x) + log2(x+1) ≥ 0
⇔ log2(2-x)(x+1) ≥ 0 ⇔ (2-x)(x+1) ≥ 1 ⇔ -x2 – x +1 ≥ 0 ⇔ ≤x≤
Kết hợp với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là:
b) Địa chỉ: x>0
Đặt t = logx thì: t2 – 13t + 36 = 0 ⇔ t 9
với t <;4 ta có: logx <;4 ⇔ x < 104
Với t > 9 ta có: logx > 9 ⇔ x > 109
Điều kiện để bất phương trình tổ hợp có tập nghiệm:
Bài tập 5: Giải bất phương trình (Trẻ em giải)
Một) 2
b) >8
c) 2
d) <0
