Bài 27 Trang 22 SGK Toán 8 Tập 2
Giải phương trình:
a) \( \frac{2x-5}{x+5}\) = 3; b) \( \frac{x^{2}-6}{x}=x+ frac{3}{2}\)
c) \( \frac{(x^{2}+2x)-(3x+6)}{x-3}=0\); d) \( \frac{5} {3x+2}\) = 2x – 1
Hướng dẫn giải pháp:
a) Đăng ký: x # -5
\( \frac{2x-5}{x+5}\) = 3 ⇔ \( \frac{2x-5}{x+5}\) \( =\ Điểm {3(x+5)}{x+5}\)
2x – 5 = 3x + 15
2x – 3x = 5 + 20
x = -20 thỏa mãn đkxĐ
Vậy tập giải pháp s = {-20}
b) tkxĐ: x # 0
\( \frac{x^{2}-6}{x}=x+\frac{3}{2}\) ⇔ \( \frac{2(x^{2} -6)}{2x}=\frac{2x^{2}+3x}{2x}\)
Suy ra: 2×2 – 12 = 2×2 + 3x ⇔ 3x = -12 ⇔ x = -4 thỏa mãn x # 0
Vậy tập nghiệm s = {-4}.
c) Đăng ký: x # 3
\( \frac{(x^{2}+2x)-(3x+6)}{x-3}=0\) x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
(x – 3)(x + 2) = 0 nhưng x # 3
x + 2 = 0
x = -2
Vậy tập giải pháp s = {-2}
d) tkxĐ: x # \( -\frac{2}{3}\)
\( \frac{5}{3x+2}\) = 2x – 1 ⇔ \( \frac{5}{3x+2}\) \( =\frac{ (2x -1)(3x+2)}{3x+2}\)
5 = (2x – 1)(3x + 2)
6×2 – 3x + 4x – 2 – 5 = 0
6×2 + x – 7 = 0
6×2 – 6x + 7x – 7 = 0
6x(x – 1) + 7(x – 1) = 0
(6x + 7)(x – 1) = 0
⇔ x = \( -\frac{7}{6}\) hoặc x = 1 thỏa mãn x # \( -\frac{2}{3}\)
Vậy tập nghiệm s = {1;\( -\frac{7}{6}\)}.
Bài 28 trang 22 SGK Toán 8 tập 2
Giải phương trình:
a) \( \frac{2x-1}{x-1}+1=\frac{1}{x-1}\); b) \( \frac{5x} {2x+2}+1=-\frac{6}{x+1}\)
c) x + \( \frac{1}{x}\) = x2 + \( \frac{1}{x^{2}}\); d) \( \frac{x+3}{x+1}+\frac{x-2}{x}\) = 2.
Hướng dẫn giải pháp:
a) Đăng ký: x # 1
Quy mẫu ta được: 2x – 1 + x – 1 = 1 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1 không thỏa mãn tkxĐ
Vậy phương trình vô nghiệm.
b) Đăng ký: x # -1
Lấy mẫu ta có: 5x + 2x + 2 = -12
7x = -14
x = -2
Vậy phương trình có nghiệm x = -2.
c) Định nghĩa: x # 0.
Lấy mẫu ta có: x3 + x = x4 + 1
x4 – x3 -x + 1 = 0
x3(x – 1) -(x – 1) = 0
(x3 -1)(x – 1) = 0
x3 -1 = 0 hoặc x – 1 = 0
1) x – 1 = 0 x = 1
2) x3 -1 = 0 ⇔ (x – 1)(x2 + x + 1) = 0
⇔ x = 1 hoặc x2 + x + 1 = 0 ⇔ \( (x+\frac{1}{2})^{2}\) = \( -\frac{3}{ 4}\) (nực cười)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
d) tkxĐ: x # 0 -1.
Để lấy mẫu, chúng ta có x(x + 3) + (x + 1)(x – 2) = 2x(x + 1)
⇔ x2 + 3x + x2 – 2x + x – 2 = 2×2 + 2x
2×2 + 2x – 2 = 2×2 + 2x
0x = 2
Phương trình 0x = 2 vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Bài 29 trang 22 SGK Toán 8 tập 2
Bạn có thể giải phương trình \({{{x^2} – 5x} \over {x – 5}} = 5\left( 1 \right)\) như sau:
(1) ⇔\({x^2} – 5x = 5\left( {x – 5} \right)\)
⇔\({x^2} – 5x = 5x – 25\)
⇔\({x^2} – 10x + 25 = 0\)
⇔\({\left( {x – 5} \right)^2} = 0\)
⇔\(x = 5\)
Bạn cho rằng đáp án sai vì bạn đang nhân cả hai vế với biểu thức x – 5 có chứa số hạng ẩn. Giải bằng cách rút gọn vế trái như sau:
(1) ⇔\({{x\left( {x – 5} \right)} \over {x – 5}} = 5 \leftrightarrow x = 5\)
Xin vui lòng cho tôi biết suy nghĩ của bạn về hai giải pháp trên.
Hướng dẫn:
+ Trong giải pháp của bạn có ghi
(1) \({x^2} – 5x = 5\left( {x – 5} \right)\) ⇔ sai vì x = 5 không phải là nghiệm của (1) hoặc ( 1) Có chứng chỉ hợp lệ: \(x \ne 5\).
+ Trong giải pháp của tôi, nó nói
(1) ⇔\({{x\left( {x – 5} \right)} \over {x – 5}} = 5 \leftrightarrow x = 5\)
Ta không tìm đkxĐ của phương trình mà rút gọn x – 5 là sai.
Tóm lại cả 2 cách giải đều sai, đều không tìm được đkxĐ khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Bài 30 Trang 23 SGK Toán 8 Tập 2
Giải phương trình:
a) \({1 \ qua {x – 3}} + 3 = {{x – 3} \ qua {2 – x}}\)
b) \(2x – {{2{x^2}} \trên {x + 3}} = {{4x} \trên {x + 3}} + {2 \trên 7} \)
c) \({{x + 1} \over {x – 1}} – {{x – 1} \over {x + 1}} = {4 \over {{x^2 } – 1}}\)
d) \({{3x – 2} \trên {x + 7}} = {{6x + 1} \trên {2x – 3}}\)
Hướng dẫn:
a) \({1 \ qua {x – 3}} + 3 = {{x – 3} \ qua {2 – x}}\) tkxĐ: \(x \ne 2 \)
Để lấy mẫu, chúng tôi nhận được: \(1 + 3\left({x – 2} \right) = – \left({x – 3} \right) \leftrightarrow 1 + 3x – 6 = – x + 3\)
⇔\(3x + x = 3 + 6 – 1\)
⇔4x = 8
⇔x = 2.
x = 2 không thỏa mãn.
Vậy phương trình vô nghiệm.
b) \(2x – {{2{x^2}} \trên {x + 3}} = {{4x} \trên {x + 3}} + {2 \trên 7} \)tkxĐ:\(x \ne – 3\)
Để lấy mẫu, chúng tôi nhận được:
\(14\left( {x + 3} \right) – 14{x^2}\)= \(28x + 2\left( {x + 3} \right) \)
\(\leftrightarrow 14{x^2} + 42x – 14{x^2}= 28x + 2x + 6\)
⇔ \(42x – 30x = 6\)
⇔\(12x = 6\)
⇔\(x = {1 \ trên 2}\)
\(x = {1 \ trên 2}\) thỏa mãn các điều khoản và điều kiện.
Vậy phương trình có nghiệm \(x = {1 \trên 2}\)
c) \({{x + 1} \over {x – 1}} – {{x – 1} \over {x + 1}} = {4 \over {{x^2 } – 1}}\) tkxĐ:\(x \ne \pm 1\)
Để lấy mẫu, chúng tôi nhận được: \({\left({x + 1} \right)^2} – {\left({x – 1} \right)^2} = 4\ )
⇔\({x^2} + 2x + 1 – {x^2} + 2x – 1 = 4\)
⇔\(4x = 4\)
⇔\(x = 1\)
x = 1 không thỏa mãn.
Vậy phương trình vô nghiệm.
d) \({{3x – 2} \trên {x + 7}} = {{6x + 1} \trên {2x – 3}}\) tkxĐ:\(x \ ne – 7\) và \( x \ne {3 \ trên 2}\)
Để lấy mẫu, chúng tôi nhận được: \(\left({3x – 2} \right)\left({2x – 3} \right) = \left({6x + 1} \right )\trái({x+7}\phải)\)
⇔\(6{x^2} – 9x – 4x + 6 = 6{x^2} + 42x + x + 7\)
⇔\(-13x + 6 = 43x + 7\)
⇔\(-56x = 1\)
⇔\(x = {{ – 1} \vượt {56}}\)
\(x = {{ – 1} \trên {56}}\) thỏa mãn tkxĐ.
Vậy phương trình có nghiệm \(x = {{ – 1} \over {56}}\) .
Treo 31 Trang 23 SGK Toán 8 Tập 2
Giải phương trình:
a) \({1 \over {x – 1}} – {{3{x^2}} \over {{x^3} – 1}} = {{2x} \over {{x^2} + x + 1}}\)
b) \({3 \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}} + {2 \over { left( {x – 3} \right)\left( {x – 1} \right)}} = {1 \over {\left( {x – 2} \right)\left ( {x – 3} \right)}}\)
c) \(1 + {1 \ trên {x + 2}} = {{12} \ trên {8 + {x^3}}\)
d) \({{13} \over {\left( {x – 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {\left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
Người chiến thắng:
a) \({1 \over {x – 1}} – {{3{x^2}} \over {{x^3} – 1}} = {{2x} \over {{x^2} + x + 1}}\)
Ta có: \({x^3} – 1 = \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) )
\(= \left( {x – 1} \right)\left[ {{{\left( {x + {1 \ trên 2}} \right)}^2} + {3 \trên 4}} \right]\) nên x3 – 1 ≠ 0 khi x – 1 ≠ 0⇔ x ≠ 1
Vậy tkxĐ: x 1
Để lấy mẫu, chúng tôi nhận được:
\({x^2} + x + 1 – 3{x^2} = 2x\left({x – 1} \right) \leftrightarrow – 2{x^2} + x + 1 = 2{x^2} – 2x\)
\(\leftrightarrow 4{x^2} – 3x – 1 = 0\)
\(\leftrightarrow 4x\left( {x – 1} \right) + \left( {x – 1} \right) = 0\)
\(\leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {4x + 1} \right) = 0\)
\(\leftrightarrow \left[ {\ma trận{{x = 1} \cr {x = – {1 \ trên 4}} \cr} }\right.\)
x = 1 không thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất\(x = – {1 \trên 4}\)
b) \({3 \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}} + {2 \over { left( {x – 3} \right)\left( {x – 1} \right)}} = {1 \over {\left( {x – 2} \right)\left ( {x – 3} \right)}}\)
đkxĐ: x 1, x 2, x ≠ 3
Để lấy mẫu, chúng tôi nhận được:
\(3\left({x – 3} \right) + 2\left({x – 2} \right) = x – 1 \leftrightarrow 3x – 9 + 2x – 4 = x – 1\)
\( \leftrightarrow 5x – 13 = x – 1\)
⇔ 4x = 12
⇔x = 3
x = 3 không thỏa mãn đkxĐ.
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) \(1 + {1 \ trên {x + 2}} = {{12} \ trên {8 + {x^3}}\)
Ta có: \(8 + {x^3} = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} – 2x + 4} \right) )
\( = \left( {x + 2} \right)\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + 3} \right ]\)
Do đó: khi x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ -2, 8 + x2 ≠ 0
Phương trình suy ra: x -2
Để lấy mẫu, chúng tôi nhận được:
\({x^3} + 8 + {x^2} – 2x + 4 = 12 \leftrightarrow {x^3} + {x^2} – 2x = 0\)
\(\leftrightarrow x\left( {{x^2} + x – 2} \right) = 0\)
\(\leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 2x – x – 2} \right] = 0\)
⇔x(x + 2)(x – 1) = 0
⇔x(x -1) = 0
⇔x = 0 hoặc x = 1
x = 0, x = 1 thỏa mãn định nghĩa của phương trình.
Vậy phương trình có tập nghiệm s = {0;1}.
d) \({{13} \over {\left( {x – 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {\left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
dkxĐ: \(x \ne 3,x \ne – 3,x \ne – {7 \trên 2}\)
Để lấy mẫu, chúng tôi nhận được:
\(13\left( {x + 3} \right) + \left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 6 left( {2x + 7} \right) \leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} – 9 = 12x + 42\)
\(\leftrightarrow {x^2} + x – 12 = 0\)
\(\leftrightarrow {x^2} + 4x – 3x – 12 = 0\)
\(\leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) – 3\left( {x + 4} \right) = 0\)
\(\leftrightarrow \left({x – 3} \right)\left({x + 4} \right) = 0\)
⇔ x = 3 hoặc x = -4
x = 3 không đủ điều kiện.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -4
bài 32 trang 23 SGK Toán 8 tập 2
Giải phương trình:
a) \({1 \over x} + 2 = \left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \đúng)\);
b) \({\left( {x + 1 + {1 \over x}} \right)^2} = {\left( {x – 1 – {1 \over x }} \phải)^2}\)
Hướng dẫn:
a) \({1 \over x} + 2 = \left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \phải)\) (1)
dkxĐ:\(x \ne 0\)
(1) ⇔\(\left( {{1 \over x} + 2} \right) – \left( {{1 \over x} + 2} \right) left( {{x^2} + 1} \right) = 0\)
\(\leftrightarrow \left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( {1 – {x^2} – 1} \right) = 0 )
⇔ \(\left( {{1 \over x} + 2} \right)\left( { – {x^2}} \right) = 0\)
⇔\(\left[ {\ma trận{{{1 \over x} + 2 = 0} \cr { – {x^2} = 0} \cr} } \right \leftrightarrow \left[ {\ma trận{{{1 \over x} = – 2} \cr {{x^2} = 0} \cr} } \right. \leftrightarrow left[ {\matrix{{x = – {1 \over 2}} \cr {x = 0} \cr} } \right.\)
b) \({\left( {x + 1 + {1 \over x}} \right)^2} = {\left( {x – 1 – {1 \over x }} \phải)^2}\) (2)
dkxĐ: \(x \ne 0\)
(2) ⇔\(\left[ {\ma trận{{x + 1 + {1 \over x} = x – 1 – {1 \over x}} \cr {x + 1 + {1 \over x} = – \left( {x – 1 – {1 \over x}} \right)} \cr} } \right.\)
⇔\(\left[ {\ma trận{{{2 \over x} = – 2} \cr {2x = 0} \cr} \leftrightarrow \left[ {\ ma trận {{x = – 1} \cr {x = 0} \cr} } \right.} \right.\)
x=0 không thỏa mãn đkxĐ.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1.
bài 33 trang 23 SGK Toán 8 Tập 2
Tính a sao cho mỗi biểu thức sau đều bằng 2:
a) \({{3a – 1} \trên {3a + 1}} + {{a – 3} \trên {a + 3}}\) b) \({{10 ) } \ trên 3} – {{3a – 1} \ trên {4a + 12}} – {{7a + 2} \ trên {6a + 18}}\)
Hướng dẫn:
a) Ta có phương trình: \({{3a – 1} \over {3a + 1}} + {{a – 3} \over {a + 3}} = 2\); tkxĐ: \(a \ne – {1 \trên 3},a \ne – 3\)
Để lấy mẫu, chúng tôi nhận được:
\(\left( {3a – 1} \right)\left( {a + 3} \right) + \left( {a – 3} \right)\left( {3a + 1} \right) = 2\left( {3a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)\)
⇔\(3{a^2} + 9a – a – 3 + 3{a^2} – 9a + a – 3 = 6{a^2} + 18a + 2a + 6\)
⇔\(6{a^2} – 6 = 6{a^2} + 20a + 6\)
⇔\(20a = – 12\)
⇔\(a = – {3 \ trên 5}\)
\(a = – {3 \ trên 5}\) các điều khoản và điều kiện được đáp ứng.
Vậy \(a = – {3 \ trên 5}\) thì biểu thức \({{3a – 1} \ trên {3a + 1}} + {{a – 3}\ bằng 2 trên {a + 3}}\)
b) Ta có phương trình: \({{10} \trên 3} – {{3a – 1} \trên {4a + 12}} – {{7a + 2} \trên {6a + 18}} = 2\)
dkxĐ:\(a \ne 3;mtc:12\left( {a + 3} \right)\)
Để lấy mẫu, chúng tôi nhận được:
\(40\left( {a + 3} \right) – 3\left( {3a – 1} \right) – 2\left( {7a + 2} \right) = 24\left( {a + 3} \right)\)
⇔\(40a + 120 – 9a + 3 – 14a – 4 = 24a + 72\)
⇔\(17a + 119 = 24a + 72\)
⇔\(-7a = -47\)
⇔\(a = {{47} \ trên 7}\)
\(a = {{47} \ trên 7}\) đáp ứng các điều khoản sử dụng.
Vậy \(a = {{47} \trên 7}\) Khi đó biểu thức \({{10} \trên 3} – {{3a – 1} \trên {4a + 12 }} – {{7a + 2} \ trên {6a + 18}}\) bằng 2.
giaibaitap.me
