Hướng dẫn giải bài tập §2. Tích vô hướng của hai vectơ Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng của nó SGK Hình Học 10 Bài Giải Bài Tập Nội Dung Bài Học 1 2 3 4 5 6 7 Trang 45 46 SGK Hình Học 10 Gồm Tổng Hợp Công Thức, Lý Thuyết Và Phương Pháp Giải Bài Điểm toán của học sinh lớp 10 rất giỏi.
Lý thuyết
1. định nghĩa
Vectơ \(\vec{0}\) cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) khác nhau. Tích vô hướng của \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là một số được đại diện bởi \(\vec{a}\). ( \vec{b}\), được xác định theo công thức sau:
\(\vec{a} .\vec{b} = |\vec{a}|.|\vec{b}|cos(\vec{a}, \vec{ b})\)
2. Thuộc tính của tích vô hướng
Ta có thể chứng minh tính chất sau của tích vô hướng:
Với ba vectơ \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) bất kỳ và mọi số (k\) Ta có:
\(\vec{a}\).\(\vec{b}\) = \(\vec{b}\).\(\vec{a }\) (thuộc tính trao đổi)
\(\vec{a}\).(\(\vec{b}\) + \(\vec{c}\)) = \(\vec {Một loại}\). \(\vec{b}\) + \(\vec{a}\). \(\vec{c}\) (gán thuộc tính)
\((k.\vec{a}\)).\(\vec{b}\) = \(k(\vec{a}\), \ (\vec{b}\)) = \(\vec{a}\)\(.(k\vec{b}\))
3. Biểu thức tọa độ tích vô hướng
Trên mặt phẳng tọa độ \((0; \vec{i}; \vec{j})\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a =({a_1};{ a_2 } )\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})\).Sau đó, tích \(\vec{a}\) và \(\vec{ b}\) là:
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}\)
Nhận xét:
Hai vectơ \(\overrightarrow a =({a_1};{a_2})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2})\) vectơ khác nhau \ (\vec{0}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
$${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0$$
4. áp dụng
a) Độ dài của vectơ: công thức tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow a =({a_1};{a_2})\) là: \(\vec{a } = sqrt {a_{1}^{2}+ {a_{2}}^{2}}\)
b) Góc giữa hai vectơ: Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, ta suy ra rằng nếu \(\overrightarrow a =({a_1};{a_2})\), \ ( \ overrightarrow b = ({b_1};{b_2})\) khác vectơ \(\vec{0}\) Khi đó ta có:
\(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a |.|\vec{b}}|} = \frac{{a_{1}.b_{1}+ a_{2}.b_{2}}}{\sqrt{{a_{1}} ^{2}+{a_{2}}^{2}}.\sqrt{{b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\)
c) Khoảng cách giữa hai điểm: công thức tính khoảng cách giữa hai điểm\(a({x_a};{y_a}),b({x_b};{y_b})\):
\(ab = \sqrt{({x_{b}-x _{a}})^{2}+({y_{b}-y_{a})}^{2}} )
Sau đây là đáp án và hướng dẫn học bài Hoạt động học sinh SGK Hình học lớp 10.
Câu hỏi
1. Trả lời câu 1 trang 42 SGK hình học 10
Cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) khác vectơ \(\vec{0}\). Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ này dương? Nó có phải là số âm không? Bằng 0?
Trả lời:
Tích vô hướng của hai vectơ dương khi góc giữa chúng nhỏ hơn 90o.
Khi góc giữa hai vectơ lớn hơn 90o thì tích vô hướng của hai vectơ là âm.
Tích vô hướng của hai vectơ bằng 0 khi góc giữa chúng bằng 90o.
2. Trả lời câu 2 trang 44 sgk hình học 10
Trên mặt phẳng tọa độ $oxy$, ba điểm $a(2; 4), b(1; 2), c(6; 2)$. Chứng minh rằng \(\vec{ab}\) ⊥ \(\vec{ac}\).
Trả lời:
Ta có:
\(\vec{ab}\) $= (-1; -2)$
\(\vec{ac}\) $= (4; -2)$
⇒\(\vec{ab}\).\(\vec{ac}\) $= (-1).4 + (-2).(-2) = -4 + 4 = 0$
⇒\(\vec{ab}\) ⊥ \(\vec{ac}\).
Dưới đây là phần hướng dẫn giải bài tập SGK Hình học 10 trang 1 2 3 4 5 6 7. Các em vui lòng đọc kỹ câu hỏi trước khi giải bài!
Bài tập
giaibaisgk.com giới thiệu đến các bạn lời giải bài tập Hình học 10 đầy đủ, có lời giải chi tiết Bài 1 2 3 4 5 6 7 Trang 45 46 SGK Hình học Bài 10 §2. Tích vô hướng của hai vectơ từ Chương 2. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng của nó dành cho các bạn tham khảo. Chi tiết lời giải của từng bài tập xem bên dưới:
1. Giải bài 1 Trang 45 SGK Hình học 10
Tam giác vuông cân $abc$ với $ab = ac = a$. Tính tích vô hướng:
$\overrightarrow{ab}.\overrightarrow{ac}$
$\overrightarrow{ac}.\overrightarrow{cb}$
Giải pháp thay thế:
Ta có: $\overrightarrow{ab}.\overrightarrow{ac}=\left | ab \right|.\left| ac \right |\cos (\overrightarrow{ab} ,\overrightarrow{ac})$
⇔ $\overrightarrow{ab}.\overrightarrow{ac}=a.a.\cos 90^{\circ}=0$
⇒ $\overrightarrow{ab}.\overrightarrow{ac}=0$
Tương tự: $\overrightarrow{ac}.\overrightarrow{cb}=\left | ac \right|.\left| cb \right |.\cos (\overrightarrow{ac} ,\overrightarrow{cb})$
⇒ $\overrightarrow{ac}.\overrightarrow{cb}=a.a\sqrt{2}.\cos 135^{\circ}=-a^{2}$
2. Giải bài 2 trang 45 SGK hình học
Cho ba điểm $o, a, b$ thẳng hàng biết $oa = a, ob = b$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{oa}.\overrightarrow{ob}$ trong cả hai trường hợp:
a) $o$ trỏ ra bên ngoài $ab$.
b) $o$ điểm trong $ab$.
Giải pháp thay thế:
a)Chúng tôi có:
$\overrightarrow{oa}.\overrightarrow{ob}=\left |\overrightarrow{oa} \right |.\left | \overrightarrow{ob} \right |\cos 0^{\circ}$
⇒ $\overrightarrow{oa}.\overrightarrow{ob}=a.b$
b) Ta có: $\overrightarrow{oa}$ và $\overrightarrow{ob}$ ngược hướng
⇒ $(\overrightarrow{oa},\overrightarrow{ob})=180^{\circ}$
⇒ $\cos (\overrightarrow{oa},\overrightarrow{ob})=-1$
⇒ $\overrightarrow{oa}.\overrightarrow{ob}=-a.b$
3. Giải bài 3 Trang 45 SGK Hình học 10
Cho hình bán nguyệt có tâm $o$ và đường kính $ab = 2r$. Gọi $m$ và $n$ là hai điểm trên nửa đường tròn sao cho các dây $am$ và $bn$ cắt nhau tại $i$.
a) Chứng minh: $\overrightarrow{ai}.\overrightarrow{am}=\overrightarrow{ai}. \overrightarrow{ab}$ và $\overrightarrow{bi}. \overrightarrow{bn}=\overrightarrow{bi}. \overrightarrow{ba}$.
b) Tính $\overrightarrow{ai}.\overrightarrow{am}+\overrightarrow{bi} sử dụng kết quả của a). \overrightarrow{bn}$ của r.
Giải pháp thay thế:
a) Ta có: $\overrightarrow{ai}.\overrightarrow{am}=\overrightarrow{ai}. (\overrightarrow{ab}+\overrightarrow{bm})$
⇔ $\overrightarrow{ai}.\overrightarrow{am} = \overrightarrow{ai}.\overrightarrow{ab} + \overrightarrow{ai}.\overrightarrow{bm}$
$ai\perp mb$ ⇒ $\overrightarrow{ai}.\overrightarrow{mb}=0 $
⇒ $\overrightarrow{ai}. \overrightarrow{am}=\overrightarrow{ai}. \overrightarrow{ab}$ ( dcm )
Tương tự, ta có:
$\overrightarrow{bi}.\overrightarrow{bn}=\overrightarrow{bi}.(\overrightarrow{ba}+\overrightarrow{an})$
⇔ $\overrightarrow{bi}.\overrightarrow{bn} = \overrightarrow{bi}.\overrightarrow{ba} + \overrightarrow{bi}.\overrightarrow{an}$
$bi\perp an$ ⇒ $\overrightarrow{bi}.\overrightarrow{an}=0 $
⇒ $\overrightarrow{bi}.\overrightarrow{bn}=\overrightarrow{bi}. \overrightarrow{ba}$. (đpcm)
b)Ta có:
$\overrightarrow{ai}.\overrightarrow{am}+\overrightarrow{bi}.\overrightarrow{bn}=\overrightarrow{ai}.\overrightarrow{ab}+\overrightarrow{ bi}.\overrightarrow{ba}$
⇔ $\overrightarrow{ai}.\overrightarrow{am}+\overrightarrow{bi}.\overrightarrow{bn}=\overrightarrow{ab}.(\overrightarrow{ai}+\ overrightarrow{bi}=\overrightarrow{ab}.\overrightarrow{ab}=\overrightarrow{ab^{2}}$
⇒ $\overrightarrow{ai}.\overrightarrow{am}+\overrightarrow{bi}.\overrightarrow{bn}=ab^{2}=4r^{2}$
4. Giải bài 4 Trang 45 SGK Hình học 10
Cho hai điểm $a(1; 3), b(1; 2)$ trên mặt phẳng $oxy$.
a) Tìm tọa độ của một điểm $d$ nằm trên trục $ox$ sao cho $da = db$.
b) Tính chu vi tam giác $oab.$
c) Chứng tỏ $oa$ vuông góc với $ab$ và tính diện tích tam giác $oab$ tương ứng.
Giải pháp thay thế:
a) Gọi tọa độ $d(x; 0).$
Ta có: $da=\sqrt{(1-x)^{2}+3^{2}}=\sqrt{x^{2}-2x+10}$
$db=\sqrt{(4-x)^{2}+2^{2}}=\sqrt{x^{2}-8x+20}$
$da=db$ ⇒ $\sqrt{x^{2}-2x+10}=\sqrt{x^{2}-8x+20}$
⇔ $6x=10 x=\frac{5}{3}$
⇒ $d(\frac{5}{3};0)$
b)Ta có:
$oa^{2} = 1^{2} + 3^{2} = 10$
⇒ $oa = \sqrt{10}$
$ab^{2} = 3^{2} + (-1)^{2} = 10$
⇒ $ab = \sqrt{10}$
$ob^{2} = 4^{2} + 2^{2} = 20$
⇒ $ob =\sqrt{2}.\sqrt{5}$
Vậy chu vi của tam giác \(oab\) là: \(\sqrt {10} + 2\sqrt 5 + \sqrt {10}= 2\sqrt {10} + 2 sqrt 5.\)
c) Ta có: $oa^{2} + ab^{2} = 20 = ob^{2}$
⇒ $Δoab$ vuông tại $a oa ab$
Diện tích $Δoab$ là:
$\frac{1}{2}oa.ob=\frac{1}{2}\sqrt{10}\sqrt{10}=5 (dvdt) $
5. Giải bài 5 trang 46 SGK Hình học 10
Tính góc trên mặt phẳng $oxy$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ với các điều kiện sau:
a) $\overrightarrow{a}=(2;-3)$ và $\overrightarrow{b}=(6;4)$
b) $\overrightarrow{a}=(3;2)$ và $\overrightarrow{a}=(5;-1)$
c) $\overrightarrow{a}=(-2;-2\sqrt{3})$ và $\overrightarrow{a}=(3;\sqrt{3})$
Giải pháp thay thế:
a) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.6+(-3.4=0$
⇒ $\cos (\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=0$
⇒ $(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=90^{\circ}$
b) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=13$
⇒ $\left | \overrightarrow{a} \right |=\sqrt{13}$
$\left | \overrightarrow{b} \right |=\sqrt{26}$
⇒ $\cos (\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=\frac{\sqrt{2}}{2}$
⇒ $(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=45^{\circ}$
c) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-12$
⇒ $\left | \overrightarrow{a} \right |=\sqrt{16}$
$\left | \overrightarrow{b} \right |=2\sqrt{3}$
⇒ $\cos (\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=\frac{-\sqrt{3}}{2}$
⇒ $(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=150^{\circ}$
6. Giải bài 6 Trang 46 SGK Hình học 10
Có bốn điểm trên mặt phẳng tọa độ $oxy$: $a(7; -3), b(8; 4), c(1; 5), d(0; -2)$. Chứng minh rằng tứ giác $abcd$ là hình vuông.
Giải pháp thay thế:
Ta có: $\overrightarrow{dc}=(1;7)$
$\overrightarrow{ab}=(1;7)$
⇒ $\overrightarrow{dc}=\overrightarrow{ab}$
⇒ $\left\{\begin{matrix}dc=ab & \\ dc//ab & \end{matrix}\right.$
⇒ $abcd$ là hình bình hành.
Mặt khác: $\overrightarrow{ab}=(1;7)$
$\overrightarrow{ad}=(-7;1)$
⇒ $\overrightarrow{ab}.\overrightarrow{ad}=0$
⇒ $ab\perp ad$
⇒ $\widehat{bad}=90^{\circ}$
⇒ $abcd$ là hình chữ nhật.
Mặt khác: $\left | \overrightarrow{ab} \right |=\sqrt{1^{2}+7^{2}}=\sqrt{50}$
$\left | \overrightarrow{ad} \right |=\sqrt{(-7)^{2}+1^{2}}=\sqrt{50}$
⇒ $ab = quảng cáo$
⇒ $abcd$ là hình vuông (vì hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau) (dpcm).
7.Giải bài tập Trang 7 46 SGK Hình học 10
Cho điểm $a(-2; 1)$ trên mặt phẳng $oxy$. Gọi $b$ là một điểm đối xứng với điểm $a$ qua gốc tọa độ $o$. Tìm tọa độ của một điểm $c$ có tọa độ $2$ sao cho tam giác nằm chính xác tại $c$.
Giải pháp thay thế:
Vì $b$ đối xứng với $a(-2; 1)$ đến $o$ nên ta có: $b(2; -1)$
Tọa độ cuộc gọi $c(x; 2).$
$\overrightarrow{ca}=(-2-x;-1)$
$\overrightarrow{cb}=(2-x;-3)$
Xét bình phương của $\tam giác abc$ tại $c$
⇒ $\overrightarrow{ca}.\overrightarrow{cb}=0$
⇔ $-(2 + x)(2 – x) + 3 = 0$
⇔ $ -4 + x^{2} + 3 = 0$
⇔ $x^{2} = 1 ⇒ x = ±1$
Vậy $c(1; 2)$ hoặc $c(-1; 2)$ thỏa mãn bài toán.
Trước:
- Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 40 SGK hình học 10
- Giải 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Trang 59 60 SGK Hình học 10
- Câu hỏi khác 10
- Học tốt vật lý lớp 10
- Học tốt môn sinh học lớp 10
- Học tốt ngữ văn lớp 10
- Điểm tốt môn lịch sử lớp 10
- Học tốt môn địa lý lớp 10
- Học tốt tiếng Anh lớp 10
- Học tiếng Anh lớp 10 thí điểm
- Học tốt tin học lớp 10
- Học chăm chỉ vào lớp 10 gdcd
Tiếp theo:
Xem thêm:
Chúc các bạn hoàn thành tốt công việc Soạn Sách Giáo Khoa Toán 10 Có Lời Giải 1 2 3 4 5 6 Trang 7 45 46 SGK Hình Học 10!
“Môn thể thao nào đã khó giabaisgk.com”
