Toán 11 trang 168

bài 1 trang 168 sgk đại số và giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau:

a) \(y = \frac{x-1}{5x-2}\);

b) \(y = \frac{2x+3}{7-3x}\);

c) \(y = \frac{x^{2}+2x+3}{3-4x}\);

d) \(y = \frac{x^{2}+7x+3}{x^{2}-3x}\).

Giải pháp thay thế:

a) \( y’=\frac{\left ( x-1 \right )’.\left ( 5x-2 \right )-\left ( x-1 right ).\left ( 5x-2 \right )’}{\left ( 5x-2 \right )^{2}}\) = \( \frac{5x-2- \left ( x-1 \right ).5}{\left ( 5x-2 \right )^{2}}\) = \( \frac{3}{\left ( 5x -2 \right)^{2}}\).

b) \( y’=\frac{\left ( 2x+3 \right )’.\left ( 7-3x \right )-\left ( 2x+3 right ).\left ( 7-3x \right )’}{\left ( 7-3x \right )^{2}}\) = \( \frac{2\left ( 7-3x \right )-\left ( 2x+3 \right ).\left ( -3 \right )}{\left ( 7-3x \right )^{2}} ) = \( \frac{23}{\left ( 7-3x \right )^{2}}\).

c) \( y’=\frac{\left ( x^{2}+2x+3 \right )’.\left ( 3-4x \right )-\ Trái( x^{2} +2x+3\phải ).\trái ( 3-4x \phải )’}{\trái ( 3-4x \phải )^{2}}\) = \( \frac{\left ( 2x+2 \right ).\left ( 3-4x \right )-\left ( x^{2}+2x+3 \right ). (-4)}{(3-4x)^{2}}\) = \( \frac{-2(2x^{2}-3x-9)}{(3-4x)^{2 }}\).

d) \( y’=\frac{(x^{2}+7x+3)’.(x^{2}-3x)-(x^{2}+7x+3 ).(x^{2}-3x)’}{(x^{2}-3x)^{2}}\) = \( \frac{(2x-7).(x^{ 2}-3x)-(x^{2}+7x+3).(2x-3)}{(x^{2}-3x)^{2}}\) = \( \frac{ -10x^{2}-6x+9}{(x^{2}-3x)^{2}}\).

bài 2 trang 168 sgk đại số và giải tích 11

Giải bất phương trình sau:

a) \(y'<0\) và \({{{x^2} + x + 2} \ qua {x – 1}}\)

b) \(y’≥0\) và \(y = \frac{x^{2}+3}{x+1}\);

Xem Thêm: Hóa 10 Bài 9 Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều

c) \(y’>0\) và \(y = \frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\).

Giải pháp thay thế:

a) Ta có \( y’=\frac{(x^{2}+x+2)’.(x-1)-(x^{2}+x+2). (x-1)’}{(x-1)^{2}}\) = \( \frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2} }\)

Do đó, \(y'<0\leftrightarrow \frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}\)

\( \leftrightarrow \left\{ \ma trận{ x \ne 1 \hfill \cr – 1 < x < 3 \hfill \cr} \right. leftrightarrow \)\(x∈ (-1;1) ∪ (1;3)\).

b) Ta có \( y’=\frac{(x^{2}+3)’.(x+1)-(x^{2}+3).(x+1 )’}{(x+1)^{2}}\) = \( \frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}\) .

Do đó, \(y’≥0 \leftrightarrow \frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}≥0 \)

\( \leftrightarrow \left\{ \ma trận{ x \ne – 1 \hfill \cr \left[ \ma trận{ x \ge 1 \hfill \cr x \le – 3 \hfill \cr} \right \hfill \cr} \right \leftrightarrow \left[ \ma trận{ x \ge 1 \hfill \cr x le – 3 \hfill \cr} \right \leftrightarrow x∈ (-∞;-3] ∪ [1;+∞)\).

c). Ta có \( y’=\frac{(2x-1)’.(x^{2}+x+4)-(2x-1).(x^{2 ) }+x+4)’}{(x^{2}+x+4)}=\frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4 )}\).

Do đó, \(y’>0 \leftrightarrow \frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)} >0\leftrightarrow – 2x^2+2x +9>0 \)\(\leftrightarrow \frac{1-\sqrt{19}}{2} < x < \frac{1+\ sqrt {19}} {2}\leftrightarrow x∈ \left ( \frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2} right) )

Bởi vì \(x^2+x +4 =\) \( \left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}\)+ \( \frac{15}{4} >0\), trong đó \(∀ x ∈ \mathbb r\).

bài 3 trang 169 sgk đại số và giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau:

a) \(y = 5sinx -3cosx\);

b) \( y=\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}\);

Xem Thêm: Cây Dạ Ngọc Minh Châu

c) \(y = x cotx\);

d) \(y = \frac{sinx}{x}\) + \( \frac{x}{sinx}\);

e) \(y = \sqrt{(1 +2tan x)}\);

f) \(y = sin\sqrt{(1 +x^2)}\).

Giải pháp thay thế:

a) \(y’=5cosx-3(-sinx)=5cosx+3sinx\);

b) \( y’={{(sinx+cos x)’.(sin x- cos x)-(sin x+cos x)(sin x-cos x)’}\ Trong {(sin x-cos x)^{2}}}\) = \( {{(cos x-sin x)(sin x -cos x)-(sin x+ cos x)(cosx+sinx) }\over{(sin x-cosx )^{2}}}\) = \( {{-2}\over{(sin x-cos x)^{2}}}\).

c) \(y’ = cotx +x. \left ( -\frac{1}{sin^{2}x} \right )= cotx – \frac{x}{sin ^{2}x}\).

d) \( y’=\frac{(sin x)’.x-sin x.(x)’}{x^{2}}\) +\( \ frac{(x)’.sin x-x(sin x)’}{sin^{2}x}\) = \( \frac{x.cosx-sinx}{x^{2}}+ \frac{sin x-x.cosx}{sin^{2}x}\)\( = (x.cosx -sinx) \left ( \frac{1}{x^{2}}- frac{1}{sin^{2}x} \right)\).

e) \( y’=\frac{(1+2tanx)’}{2\sqrt{1+2tanx}}\) = \( \frac{\frac{ 2}{cos^{2}x}}{2\sqrt{1+2tanx}}\) = \( \frac{1}{cos^{2}x\sqrt{1+2tanx} }\).

f) \(y’ = (\sqrt{(1+x^2)})’ cos\sqrt{(1+x^2)} \)\(= \ frac{(1+x^{2})’}{2\sqrt{1+x^{2}}}cos\sqrt{(1+x^2)} = \frac{x}{ \sqrt{1+x^{2}}}cos\sqrt{(1+x^2)}\).

bài 4 trang 169 sgk đại số và giải tích 11

Tìm đạo hàm của hàm số sau:

a) \(y = \left( {9 – 2x} \right)(2{x^3} – 9{x^2} + 1)\);

b) \(y = \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )(7x -3)\);

Xem Thêm: Mục lục

c) \(y = (x -2)\sqrt{(x^2+1)}\);

d) \(y = tan^2x +cotx^2\);

e) \(y = cos\frac{x}{1+x}\).

Giải pháp thay thế:

a) \(y’ = \left( {9 – 2x} \right)'(2{x^3} – 9{x^2} + 1) + \left( { { 9 – 2x} \right)(2{x^3} – 9{x^2} + 1)’\)

\(= – 2(2{x^3} – 9{x^2} + 1) + \left({9 – 2x} \right)(6{x^2} – 18x) \)

\(= – 16{x^3} + 108{x^2} – 162x – 2\).

b) \(y’ = \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )’.(7x -3) + \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )(7x -3)’\)

\(= \left ( \frac{3}{\sqrt{x}} +\frac{2}{x^{3}}\right )(7x -3) +7 \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )\).

c) \(y’ = (x -2)’\sqrt{(x^2+1)} + (x -2)\sqrt {(x^2+1)} ‘\)

\(= \sqrt {(x^2+1)} + (x -2)\frac{\left ( x^{2}+1 \right )’}{2 sqrt{x^{2}+1}}\)

\(= \sqrt {(x^2+1)} + (x -2) \frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}\)

\( = \sqrt {(x^2+1)} + \frac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+1}}\) = \( \frac{2x^{2}-2x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}\).

d) \(y’ = 2tanx.(tanx)’ – (x^2)’ \left ( -\frac{1}{sin^{2}x^{2}} \right )\) = \( \frac{2tanx}{cos^{2}x}+\frac{2x}{sin^{2}x^{2}}\).

e) \(y’ = \left ( \frac{1}{1+x} \right )’sin \frac{x}{1+x}\) = ( -\frac{1}{(1+x)^{2}}sin \frac{x}{1+x}\).

giaibaitap.me

Kiểm tra tiếng Anh trực tuyến

Bạn đã biết trình độ tiếng Anh hiện tại của mình chưa?
Bắt đầu làm bài kiểm tra

Nhận tư vấn lộ trình từ ACET

Hãy để lại thông tin, tư vấn viên của ACET sẽ liên lạc với bạn trong thời gian sớm nhất.