1. Khối đa diện là gì?
Khối đa diện là một khối hình học bao gồm các đa giác phẳng thỏa mãn các tính chất sau:
-
Hai đa giác khác nhau có thể chỉ có một điểm chung, hoặc chỉ có một cạnh chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung. Nghĩa là những hình không có hai đa giác trong các trường hợp trên hoặc có nhiều hơn một trường hợp không phải là đa diện.
Ví dụ:
Khối lồi trên không phải là hình đa diện vì tam giác và hình chữ nhật không thỏa mãn điều kiện “không có điểm chung”. Cụ thể, 2 đa giác có 1 điểm chung nhưng điểm đó không phải là đỉnh chung.
-
Mỗi cạnh của mỗi đa giác là cạnh chung của đúng 2 đa giác.
Khối lồi trên không phải là khối đa diện vì nó có 1 cạnh màu đỏ, cạnh này có ở cả 4 mặt.
Một số khối đa diện quen thuộc mà học sinh lớp 11 đã biết như: tứ diện, lăng trụ, hình chóp, hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình chóp cụt…
2. Lý thuyết khối đa diện
2.1. một khối đa diện là gì?
Học sinh đã biết hình chóp, hình lăng trụ, hình lập phương…là các khối đa diện. Vì vậy, định nghĩa chung của một khối đa diện là gì?
Một khối đa diện được định nghĩa là không gian miền bên trong của mỗi khối đa diện được tạo thành. Tức là ứng với mỗi khối đa diện sẽ có một khối đa diện tương ứng.
2.2. Đặc điểm và tính chất của khối đa diện
Một số đặc điểm, tính chất của khối đa diện mà học sinh cần lưu ý khi làm bài tập khối đa diện như sau:
Tính chất 1: Đối với tứ diện đều ta có:
Đỉnh của + tứ diện đều là trọng tâm của mặt.
+ Trung điểm của các cạnh là đỉnh của khối bát diện đều.
Tính chất 2: Đối với một hình lập phương, tâm của các mặt của nó sẽ tạo thành một bát diện đều.
Tính chất 3: Đối với một bát diện đều, tâm của các mặt của nó sẽ tạo thành một hình lập phương.
Tính chất 4: Nếu hai đỉnh của một khối tám mặt không thuộc cùng một mặt của hình lập phương thì chúng được gọi là các đỉnh đối diện nhau. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của một bát diện đều. Sau đó:
+ Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
+ Ba cặp đường chéo dọc.
+ Ba đường chéo bằng nhau.
Thuộc tính 5: Một khối đa diện phải có ít nhất 4 mặt.
Tính chất 6: Một khối đa diện có ít nhất 6 cạnh.
Tính chất 7: Không có hình đa diện nào có 7 cạnh.
2.3. Ví dụ về khối đa diện
Một số khối đa diện thường gặp:
3. Khối đa diện lồi là gì?
Một đa diện lồi được xác định bởi một đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của đa diện. Một đa diện lồi nếu đoạn thẳng nằm hoàn toàn trên đa diện.
Ví dụ, lăng trụ và kim tự tháp là đa diện lồi:
Ngược lại, trường hợp sau không phải là đa diện lồi vì đoạn thẳng mn không nằm trong đa diện:
4. Lý thuyết khối đa diện đều
4.1. Định nghĩa
Khối đa diện đều là trường hợp đặc biệt của đa diện trong đa diện lồi. Việc xác định khối đa diện cần thỏa mãn 2 điều kiện sau:
-
Mỗi mặt của đa diện đều là đa giác đều p cạnh.
-
Mỗi đỉnh là đỉnh chung của q mặt.
Vậy ta được một đa diện đều loại {p;q}.
4.2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?
Tất cả 5 khối đa diện đều đã được chứng minh, với các đặc điểm sau:
5. Cách chia và lắp các khối đa diện
Khi chia, nối các khối đa diện, học sinh cần chú ý các điểm ngoài, điểm trong của khối đa diện.
-
Các điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài, và tập hợp điểm bên ngoài khối đa diện được gọi là trường ngoài.
-
Một điểm nằm bên trong đa diện nhưng không nằm trên biên của đa diện được gọi là điểm trong của đa diện. Tập hợp các điểm trong một đa diện tạo nên miền đa diện.
Cho khối đa diện (h) là hợp của hai khối đa diện (h1) và khối đa diện (h2) sao cho:
-
(h1) và (h2) không có chung phần trong thì ta nói khối đa diện (h) có thể chia thành hai khối đa diện (h1) và (h2).
-
Có thể gộp hai khối (h1) và (h2) thành khối (h).
Ví dụ 1: Chia lăng trụ abc.a’b’c’ cho mặt phẳng(a’bc), ta được hai khối đa diện mới a’abc và a’bcc’b’.
Ví dụ 2: Khối lập phương có thể chia thành bao nhiêu tứ diện bằng nhau?
Giải pháp:
Dùng mặt phẳng (bdd’b’) ta chia khối lập phương thành hai lăng trụ abd.a’b’d’ và lăng trụ bcd.b’c’d’.
+ Khối abd.a’b’d’, được chia thành ba tứ diện bằng nhau bởi các mặt phẳng (ab’d) và (ab’d’) tương ứng.
+ Tương tự khối bcd.b’c’d’ cũng chia được thành ba tứ diện bằng nhau.
Vậy có tất cả 6 tứ diện bằng nhau được tạo thành từ hình lập phương ban đầu.
6.Một số bài tập về khối đa diện và cách giải
Bài tập 1:Xét hình sau, hình nào là đa diện?
Giải pháp:
Khối đa diện là một hình học gồm một số hữu hạn các đa giác, thỏa mãn đầy đủ hai tính chất sau:
-
Hai đa giác bất kỳ không có điểm chung hoặc chỉ có một cạnh chung hoặc chỉ có một đỉnh chung.
-
Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của hai đa giác.
Do đó Hình 2, Hình 3, Hình 4 không thỏa mãn thuộc tính số 2 nên ta chọn a.
Bài 2: Hình chóp s.abc. Đáy abc là tam giác vuông cân có b là đỉnh, ac=$a\sqrt{2}$, sa tạo với mặt phẳng (abc) một góc 90 độ, sa=a. Tính thể tích khối nón s.abc
Giải pháp:
Bài tập 3: Cho hình hộp đứng có các cạnh ab = 3a, aa’ = 2a, ad = 2a. Tính thể tích của khối a’.acd’
Bài tập 4: Cho lăng trụ đứng abc.a’b’c’ có kích thước ab = a; ac = 2a và $\widehat{bac}$ = 120º, mặt phẳng (a ‘bc) tạo với mặt đáy một góc 60º. Tìm thể tích của lăng trụ abc.a’b’c’ như sau:
Bài 5: Xét các đồ thị sau, đồ thị nào không phải là đa ngưng?
Giải pháp:
Áp dụng các thuộc tính của khối đa diện:
+ Mỗi cạnh là một cạnh bất kỳ chung cho hai mặt.
+ Hai mặt có chung cạnh, chung nét, không có điểm chung.
Ta thấy: Hình 4 không thỏa mãn tính chất 2 (hai mặt bất kỳ có 1 điểm chung – nhưng điểm đó không phải là đỉnh)
Do đó, đồ thị d không phải là một đa diện.
Đa diện là phần xuất hiện thường xuyên trong đề thi tốt nghiệp THPT qg. Trong video dưới đây thầy tài năng sẽ sửa 20 câu được trích ra từ các đề thi thử và đề thi thử trước đó. Hãy chú ý đến lớp với giáo viên!
Trên đây là toàn bộ lý thuyết và bài tập điển hình về khối đa diện. Để thành thạo hơn với khối đa diện và hình học phổ thông THPT, các em hãy thường xuyên truy cập website giáo dục vuihoc.vn để có thêm nhiều kiến thức bổ ích nhé!
-
-
-
-
-
