Tính diện tích các hình hai chiều là một ứng dụng quan trọng của tích phân trong môn toán phổ thông. Vậy diện tích hình phẳng là gì? Nêu các dạng bài tập tìm diện tích hình phẳng? Cách tìm diện tích hình phẳng? Trong các bài viết sau dinhnghia.vnsẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này!
Diện tích hình phẳng là bao nhiêu?
Trong thực tế đời sống và khoa học kỹ thuật, chúng ta cần tính diện tích của các hình phẳng phức tạp mà các công thức thông thường không thể tính được. Ví dụ: diện tích của một hồ nước tự nhiên, mặt cắt ngang của một con sông… nên ta cần áp dụng tích phân để tính diện tích của những hình phức tạp đó.
Công thức diện tích hình phẳng cơ bản
Diện tích mặt phẳng xác định bởi đồ thị hàm số và trục tọa độ
Nếu hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn thẳng \([a;b]\) thì diện tích hình phẳng \(s\ ) được giới hạn bởi hình vẽ bên Hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng\(x=a , x=b\) là:
\(s=\int_{a}^{b} |f(x)|dx\)
Ví dụ:
Tính diện tích của mặt phẳng \( y=x^3 -x \) và đường thẳng \( x=2 \) bao bởi đồ thị hàm số \( s \), trục trục dọc và ngang
Giải pháp:
Vì trục tung có phương trình tọa độ\(x=0\) nên áp dụng công thức trên ta có:
\(s=\int_{0}^{2} |x^3-x|dx\)
Bởi vì \(\left\{\begin{matrix} x^3-x \leq 0 \hspace{5mm} \forall \hspace{5mm} 0 \leq x \ leq 1\\ x^3-x \geq 0 \hspace{5mm} \forall \hspace{5mm} 1 \leq x \leq 2 \end{matrix}\right. )
Vậy ta có:
\(s = \int_{0}^{1}(x-x^3)dx + \int_{1}^{2} (x^3-x)dx\)
\(s = (\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}) \bigg|_{0}^{1} + (\frac {x^4}{4}-\frac{x^2}{2}) \bigg|_{1}^{2}\)
\(s = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} =\frac{5}{2}\)(thiết bị)
Công thức chung tính diện tích hình phẳng bao bởi đồ thị
Công thức tính diện tích mặt phẳng \( y=f(x) \) , \( y=g(x) \) trong \( [a;b] ) và hai đường thẳng \ ( x=a \) , \( x=b \) :
\(s=\int_{a}^{b} |f(x)-g(x)|dx\)
Ví dụ:
Tìm diện tích của hình phẳng \( s \) giới hạn bởi hai hàm số \( y= x^2+2 \) và \( y = 3x \)
Giải pháp:
Đầu tiên, chúng ta sẽ đối chiếu giao điểm của hai hàm số này bằng cách giải phương trình:
\( x^2 +2 =3x \)
\(\leftrightarrow x^2-3x+2 =0 \leftrightarrow (x-1)(x-2) =0\)
\(\leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ x=2 \end{matrix}\right.\)
Vậy phương án \( s \) gồm hai hàm số\( y= x^2+2 \) , \( y = 3x \) và hai đường thẳng\ ( x=1 ) , \( x=2 \)
Áp dụng công thức trên ta có:
\(s= \int_{1}^{2} | x^2-3x+2|dx\)
\(=\int_{1}^{2}(3x-x^2-2)dx\)
\(=(\frac{3x^2}{2} -\frac{x^3}{3} -2x) \bigg|_{1}^{2}=\frac {1}{6}\)(thiết bị)
Công thức diện tích hình phẳng nâng cao
Sử dụng 3 hàm tính công thức tính diện tích hình phẳng
Câu hỏi: Tính diện tích hình phẳng \(s\) được xác định bởi đồ thị của 3 hàm số: \(y=f(x) ;y=g ( x);y =h(x)\)
Các bước như sau:
- Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm của từng cặp đồ thị dưới dạng \(x_1;x_2;x_3\) và \(x_1 \leq x_2 \leq x_3 \)
- Bước 2: Diện tích của mặt phẳng \(s\) sẽ được tính theo công thức sau:
\(s = \int_{x_1}^{x_2}|u(x)|dx + \int_{x_2}^{x_3} |v(x)| dx\)
Trong đó \(u(x)\) là hàm tìm phương trình của \( x_1 \)
\( v(x) \) là hàm tìm phương trình \( x_2 \)
Ví dụ:
Sử dụng 3 hàm để tính diện tích hình phẳng s: \( y= 3^x \) , \( y= 4-x \) , \( y=1 \ )
Giải pháp:
Ta tìm tọa độ giao điểm của từng cặp hàm số:
\(\left\{\begin{matrix} 3^x = 4-x \rightarrow x=1\\ 3^x =1 \rightarrow x=0 \\ 4-x = 1 \rightarrow x=3 \end{matrix}\right.\)
Vậy áp dụng công thức trên ta có:
\(s= \int_{0}^{1}|3^x -1 |dx + \int_{1}^{3} |4-x-1|dx\)
\(= (\frac{3^x}{\ln 3}-x) \bigg |_{0}^{1} + (3x-\frac{x^2}{ 2})\big|_{1}^{3}\)
\(= (\frac{3^x}{\ln 3}-x) \bigg |_{0}^{1} + (3x-\frac{x^2}{ 2})\bigg |_{1}^{3} =\frac{2}{\ln 3}+1\) (dvdt)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng
Đối với parabol \( y = ax^2 + bx +c \) và \( b^2-4ac >0 \). Khi đó diện tích \( s \) được giới hạn bởi đồ thị của parabol và trục hoành được tính như sau:
\(s=\int_{x_1}^{x_2}(ax^2+bx+c)dx\)
Trong đó \( x_1;x_2 \) là hai nghiệm của parabol
Bằng một phép biến đổi đơn giản theo định lý viet, từ công thức trên ta sẽ có:
\(s^2=\frac{(b^2-4ac)^3}{36a^4}\) hoặc \(s=\frac{(b^2-4ac) sqrt{b^2-4ac}}{6a^2}\)
Công thức này thường được sử dụng cho các câu trắc nghiệm yêu cầu tính toán nhanh!
Ví dụ:
Tính diện tích hình phẳng \( s \) giới hạn bởi parabol \( y=x^2-5x +6 \) và trục hoành
Giải pháp:
Áp dụng công thức trên với \( a=1 : b= -5 ; c=6 \) ta có:
\(s=\frac{(b^2-4ac)\sqrt{b^2-4ac}}{6a^2} = \frac{1}{6}\) (ví dụ )
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường tròn
Đối với dạng toán này ta cần vẽ hình sơ bộ để xác định hình dạng mặt phẳng cần tính, sau đó sử dụng các công thức cơ bản trên để thực hiện các phép tính thích hợp.
Lưu ý: Đối với dạng bài này khi cần tính tích phân ta cần sử dụng phương pháp lấy biến thiên để tính tích phân cần tìm.
Chi tiết>> Phương pháp biến trong nguyên hàm và tích phân
Ví dụ:
Tìm parabol\(y= \sqrt{2x}\) và đường tròn\(x^2 + y^2 = 8\)
Giải pháp:
Giao điểm của đường tròn và parabol là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{\begin{matrix} y=\sqrt{2x}\\ x^2+y^2=8 \end{matrix}\right. ) và \( x \geq 0 \)
\(\rightarrow x^2+2x-8=0 \rightarrow (x-2)(x+4)=0\)
\(\rightarrow \left[\begin{array}{l} x=2 \\ x=-4 \end{array}\right.\)
Vì \( x \geq 0 \) nên \( x=2 \)
Giao điểm của đường tròn và trục hoành là điểm \(x= 2\sqrt{2}\) và \(x= -2\sqrt{2}\)
Qua hình ta thấy \( s \) được chia làm 2 phần gồm:
\( s_1 \) được đánh dấu màu vàng
\( s_2 \) là phần tô màu đỏ
\( s= s_1 + s_2 \)
\( s_1 \) là mặt phẳng giới hạn bởi parabol \(y= \sqrt{2x}\) và hai đường thẳng \( x=0 ; x=2 \). Vì vậy
\(s_1 = 2\int_{0}^{2}\sqrt{2x} \hspace{2mm} dx = 2.\frac{2\sqrt{2}}{3} x\sqrt{x} \bigg |_{0}^{2} =\frac{8}{3}\)
\( s_2 \) gồm một đường tròn \(x^2 + y^2 =8\) và hai đường thẳng\(x=2 ; x=2\ sqrt{2 } \ ). Vì vậy
\(s_2= 2 \int_{2}^{2\sqrt{2}} \sqrt{x^2-8} \hspace{2mm} dx\)
So sánh \(x= 2\sqrt{2}\sin t\) với \(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\)
\(\rightarrow dx = 2\sqrt{2} \cost \hspace{2mm}dt\)
\(\rightarrow s_2 =2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}2\sqrt{2}. \sqrt{8-8 \sin ^2 t} \cost \hspace{2mm} dt\)
\(=16\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2t \hspace{2mm} dt \)
\(=8\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (1+ \cos 2t)dt\)
\(=8(t+\frac{\sin 2t}{2}) \bigg |_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi }{2}} =2\pi -4\)
Vậy \(s=s_1 + s_2 = 2\pi + \frac{4}{3}\) (dvdt)
Lưu ý: Từ ví dụ trên, chúng ta có thể thấy rằng công thức tính diện tích chung \(s=\int_{a}^{b} |f(x)-g (x ) |dx\) cho hầu hết các sự cố. Vì vậy, đây là một công thức nền tảng quan trọng mà chúng ta cần ghi nhớ.
Các bài viết trên của dinhnghia.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết tích phân công thức tính diện tích hình phẳng và một số câu hỏi thực hành tính diện tích hình phẳng. Mong rằng những kiến thức trong bài viết có thể giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!
Xem chi tiết qua bài giảng bên dưới:
(Nguồn: www.youtube.com)
