Hướng dẫn giải quyết vấn đề §9. Giải Đa thức một biến, Chương 4 – Biểu thức đại số, SGK Toán 7, Tập 2. Nội dung bài Giải bài 54 55 Trang 56 48 SGK Toán 7 Tập 2 bao gồm tổng hợp các công thức, lý thuyết và các phương pháp giải các bài tập đại số trong SGK Toán giúp học sinh học tốt môn Toán lớp 7.
Lý thuyết
1. Nghiệm của đa thức một biến
Đa thức p(x) được gọi là nghiệm nếu giá trị của đa thức p(x) bằng 0 khi x=a.
Nhận xét:
Đa thức (trừ đa thức 0) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, v.v… hoặc không có nghiệm nào.
Có thể chứng minh rằng số nghiệm của một đa thức (trừ 0) không vượt quá bậc của nó.
2. Ví dụ
Trước khi bắt tay vào giải bài 54 55 56 SGK toán 7 tập 2 trang 48, chúng ta hãy nghiên cứu một ví dụ điển hình sau:
Ví dụ 1:
Kiểm tra từng số xem 1; 2; -1 có phải là nghiệm của đa thức \(f(x) = {x^2} – 3x + 2\) không?
Giải pháp thay thế:
Ta có đa thức \(f\left( x \right) = {x^2} – 3x + 2\)
Tại x=1 thì \(f\left( 1 \right) = {1^2} – 3.1 + 2 = 1 – 3 + 2 = 0\) nên x=1 là một đa thức có nghiệm f(x).
Tại x=2 thì \(f\left( 2 \right) = {2^2} – 3.2 + 2 = 4 – 6 + 2 = 0\) nên x=2 là một đa thức có nghiệm f(x).
Tại x=-1 thì \(f\left({ – 1} \right) = {( – 1)^2} – 3.( – 1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 \ne 0\) Vậy x=-1 không phải là nghiệm của đa thức f(x).
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng đa thức sau vô nghiệm.
A. \(p(x) = {x^2} + 1\)
b.\(q(x) = (2{y^4} + 5)\)
Giải pháp thay thế:
A. Vì \({x^2} \ge 0\) nên \({x^2} + 1 \ge 1\). Do đó:
\(p(x) = {x^2} + 1 > 0\) Vậy đa thức p(x) vô nghiệm.
Vì \({y^4} \ge 0\) nên \(2{y^4} + 5 \ge 5.\). Do đó:
\(q(x) = 2{y^4} + 5 > 0\) Vậy đa thức q(x) vô nghiệm.
Ví dụ 3:
A. Giả sử a, b, c là các hằng số sao cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng nghiệm của đa thức \(f(x) = {a^2} + bx + c\) là x=1 .
Ứng dụng tìm nghiệm của đa thức \(f(x) = 8{x^2} – 6x – 2.\)
Giả sử a, b, c là các hằng số sao cho a – b + c = 0. Chứng minh rằng nghiệm của đa thức \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) là x= -1.
Ứng dụng tìm nghiệm của đa thức \(f(x) = 7{x^2} + 11x + 4.\)
Giải pháp thay thế:
A. Ta có: \(f(1) = a{.1^2} + b.1 + c = a + b + c = 0\)
Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức f(x)
Ta có 8+(-6)+(-2)=0 nên: \(f(x) = 8{x^2} – 6x – 2\) có nghiệm x = 1.
Ta có: \(f( – 1) = a.{( – 1)^2} + b.( – 1) + c = a – b + c = 0\)
Vậy x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x).
Ta thấy rằng \(7 – (11) + 4 = 0,\) nên:
\(f\left( x \right) = 7{x^2} + 11x + 4\) có nghiệm x = -1.
Ví dụ 4:
Tìm nghiệm của đa thức:
A. \({x^2} – 2003x – 2004 = 0\).
\(2005{x^2} – 2004x – 1 = 0\).
Giải pháp thay thế:
A. Đa thức \({x^2} – 2003x – 2004\) có các hệ số a = 1, b = -2003, c = -2004 và kể từ đó
a – b + c = 1 – (-2003) + (-2004)
=1 + 2003 – 2004 = 0
Vậy nghiệm của đa thức \({x^2} – 2003x – 2004 = 0\) là x = -1
Ta có a = 2005, b = -2004, c = -1
Vậy a + b + c = 2005 + (-2004) + (-1)
=2005 – 2005 = 0
Vậy nghiệm của đa thức \(2005{x^2} – 2004x – 1 = 0\) là x = 1.
Ví dụ 5:
Cho đa thức \(f(x) = {x^3} + 2{x^2} + {\rm{ ax}} + 1.\)
Tìm đa thức đã biết f(x) có nghiệm x = -2.
Giải pháp thay thế:
Đa thức f(x) có nghiệm x = -2 nên f(-2) = 0.
Hoặc: \(\begin{array}{l}{( – 2)^3} + 2.{( – 2)^2} + a.( – 2) + 1 = 0\ = – 8 + 8 – 2a + 1 = 0 \rightarrow a = \frac{1}{2}\end{array}\)
Vậy \( \rightarrow a = \frac{1}{2}\) thì f(x) có nghiệm x = -2.
Ví dụ 6:
Cho đa thức \(f(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n – 1}}{x^{n – 1}} + … + {a_1}x + { a_0 } .\) Trong đó, các hệ số \({a_1},{a_2},…,{a_n}\) và các hạng tử độc lập \({a_0}\) lấy giá trị như số ban đầu . Chứng minh rằng nếu f(x) có nghiệm giá trị nguyên\(x = {x_0}\) thì \({x_0}\) phải là ước của \({a_0}\).
Giải pháp thay thế:
Giả sử \(x = {x_0}\) là nghiệm nguyên của f(x)
Ta có: \(f({x_0}) = {a_n}x_0^n + {a_{n – 1}}{x^{n – 1}} + … + {a_1 }x + {a_0 } = 0\)
Trong phương trình này, số hạng của tổng là \({a_n}x_0^n,{a_{n – 1}}{x^{n – 1}},…,{a_1}\ ) là \({a_0}\) chia đều. Vì vậy \({a_0}\) cũng phải chia hết cho \({x_0}\) hoặc \({x_0}\) phải là ước của \({a_0}\).
Sau đây là hướng dẫn trả lời của bài học này để các bạn tham khảo. Vui lòng đọc kỹ câu hỏi trước khi trả lời!
Câu hỏi
1. Trả lời câu hỏi 1 Trang 48 SGK Toán 7 Tập 2
Các \(x = -2; x = 0\) và \(x = 2\) có phải là nghiệm của đa thức \({x^3}-4x\) không? Tại sao?
Trả lời:
Giá trị của đa thức \({x^3}-4x\) tại \(x = -2\) là: \({\left( { – 2} \right) ^ 3 }-4.\left( { – 2} \right) = -8 + 8 = 0\)
Giá trị của đa thức \({x^3}-4x\) tại \(x = 0\) là: \({0^3}-4.0 = 0-0 = 0 )
Giá trị của đa thức \({x^3}-4x\) tại \(x = 2\) là: \({2^3}-4.2 = 8-8 = 0 )
Vậy \(x = -2; x = 0\) và \(x = 2\) là nghiệm của đa thức \({x^3}-4x\)
(vì tại các giá trị đó của biến thì đa thức bằng \(0\))
2. Trả lời câu 2 Trang 48 SGK Toán 7 Tập 2
Trong các số sau, số nào là nghiệm của đa thức?
Trả lời:
a) Trong \(x = \dfrac{1}{4}\) ta có:
\(p\left( {\dfrac{1}{4}} \right) = 2.\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = dfrac{1}{2} = dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} \)\(\,= 1 )
Vậy \(x = \dfrac{1}{4}\) không phải là nghiệm của đa thức \(p(x)\).
– Trong \(x = \dfrac{1}{2}\) ta có:
\(p\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 2.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = dfrac{1}{2} = dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\)
Vậy \(x = \dfrac{1}{2}\) không phải là nghiệm của đa thức \(p(x)\)
– Trong \(x = – \dfrac{1}{4}\) ta có:
\(p\left({ – \dfrac{1}{4}} \right) = 2.\left({ – \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{1}{2} \)\(\,= – \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{2} = – \dfrac{1}{2 } + \dfrac{1}{2} = 0\)
Vậy \(x = – \dfrac{1}{4}\) là nghiệm của đa thức \(p(x)\).
b) Trong \(x=3\) ta có:
\(q\left( 3 \right) = {3^2} – 2.3 – 3 = 9 – 6 – 3 = 0\)
Vậy \(x=3\) là nghiệm của đa thức \(q(x)\).
– Trong \(x=1\) ta có:
\(q\left( 1 \right) = {1^2} – 2.1 – 3 = 1 – 2 – 3 \)\(\,= – 4\)
Vậy \(x=1\) không phải là nghiệm của đa thức \(q(x)\).
– Tại \(x=-1\) ta có:
\(q\left( { – 1} \right) = {\left( { – 1} \right)^2} – 2.\left( { – 1} \right ) – 3 \)\(\,= 1 + 2 – 3 = 0\)
Vậy \(x=-1\) là nghiệm của đa thức \(q(x)\).
Dưới đây là hướng dẫn giải bài 54, 55, 56 Trang 48 SGK Toán tập 2. Các em đọc kỹ bài 1 trước khi giải nhé!
Bài tập
giaibaisgk.com giới thiệu đến các em toàn bộ phương pháp Giải bài tập Đại Số 7 và lời giải chi tiết SGK Toán 2 bài 9 trang 54 55 56 trang 48. Chương 4 Giải Đa Thức Một Biến – Biểu Thức Đại Số để các bạn tham khảo. Chi tiết lời giải của từng bài tập xem bên dưới:
1. Giải bài 54 trang 48 SGK Toán 7 tập 2
Hãy xem điều này:
a) \(x = \frac{1}{{10}}\) là nghiệm đa thức \(p\left( x \right) = 5{\rm {x} } + \frac{1}{2}\)?
b) mỗi số x=1; x=3 là một đa thức \(q\left( x \right) = {x^2} – 4{\rm{x}} + 3\ ) dung dịch?
Giải pháp:
a) và \(p\left( x \right) = 5{\rm{x}} + \frac{1}{2}\)
Thay thế \(x = \frac{1}{{10}}\) vào đa thức \(p\left( x \right) = 5{\rm{x}} + frac{1}{2}\) chúng tôi nhận được:
\(p\left( {\frac{1}{{10}}} \right) = 5.\frac{1}{{10}} + \frac{1}{ 2} = 1\)
Vậy \(x = \frac{1}{{10}}\) không phải là đa thức \(p\left( {\frac{1}{{10}} } } \ phải) = 5.\frac{1}{{10}} + \frac{1}{2} = 1\)
b) với \(q\left( x \right) = {x^2} – 4{\rm{x}} + 3\)
Thay x=1 vào q(x), ta được: \(q\left( 1 \right) = {1^2} – 4.1 + 3 = 0\)
Vậy x=1 là nghiệm của đa thức \(q\left( x \right) = {x^2} – 4{\rm{x}} + 3\)
Thay x=3 vào q(x), ta được: \(q\left( 3 \right) = {3^2} – 4.3 + 3 = 0\)
Vậy x=3 là nghiệm của đa thức \(q\left( x \right) = {x^2} – 4{\rm{x}} + 3\)
2. Giải bài 55 trang 48 SGK Toán 7 Tập 2
a) Tìm nghiệm của đa thức p(y)=3y+6
b) Chứng minh rằng đa thức sau vô nghiệm: \(q(y)=y^4+2\)
Giải pháp:
a) cho \(p(y = 3y + 6 = 0 \leftrightarrow 3y = – 6 \leftrightarrow y = – 2\)
Vậy y=-2 là nghiệm của đa thức p(y)=3y+6
b) chứng tỏ đa thức \(q(y)=y^4+2\) vô nghiệm
Thật vậy, chúng ta có \({y^4} \ge 0\,\,\left( {y \in r} \right)\)
Suy luận: \({y^4} + 2 \ge 2\,\,\) cho mọi \(y \in r\)
Điều này chứng tỏ đa thức \(q(y)=y^4+2\) vô nghiệm trong r
3. Giải bài 56 trang 48 SGK Toán 7 tập 2
Đố vui: Anh hùng nói: “Ta chỉ viết được đa thức một biến có nghiệm bằng 1”
Bạn có thể viết: “Có thể viết nhiều đa thức một biến có nghiệm bằng 1”
Ý kiến của bạn?
Giải pháp:
Anh hùng sai rồi
Bạn nói đúng
Có nhiều đa thức một biến khác nhau có nghiệm bằng 1.
Ví dụ:
f(x) = x – 1;
h(x) = 2x – 2;
g(x) = -3x + 3;
Chú ý: Trong các đa thức trên thì đa thức x – 1 hoặc 1 – x là đơn giản nhất.
Trước:
- Bài tập: Giải bài 49 50 51 52 53 trang 46 SGK Toán 7 Tập 2
- Trả lời câu hỏi 1 2 3 4 trang 49 SGK Toán 7 Tập 2
- Câu hỏi khác 7
- Học tốt vật lý lớp 7
- Học tốt môn sinh học lớp 7
- Học tốt ngữ văn lớp 7
- Điểm tốt môn lịch sử lớp 7
- Học tốt môn địa lý lớp 7
- Học tốt tiếng Anh lớp 7
- Học tốt môn tiếng Anh lớp 7 thí điểm
- Học tốt môn tin học lớp 7
- Học chăm chỉ gdcd lớp 7
Tiếp theo:
Xem thêm:
<3
“Môn thể thao nào đã khó giabaisgk.com”
