dtích có thể được định nghĩa theo đại số hoặc hình học. Nói một cách đại số, tích vô hướng là tổng các tích của các số hạng tương ứng của hai dãy. Về mặt hình học, nó là tích của độ lớn Euclide của hai vectơ và cosin của góc giữa chúng. Các định nghĩa này là tương đương khi sử dụng tọa độ Descartes.
Trong hình học hiện đại, không gian Euclide thường được xác định bằng cách sử dụng không gian vectơ. Trong trường hợp này, tích chấm được sử dụng để xác định độ dài của vectơ và góc giữa hai vectơ.
Tên tích chấm được biểu thị bằng điểm trung tâm, nằm giữa hai đại lượng. ví dụ: a・b.
Tích vô hướng (tích vô hướng) còn được gọi là “tích bên trong” (tích bên trong) hoặc “tích vô hướng” để nhấn mạnhkết quả là một số vô hướng bình thường (vô hướng), không phải là một vectơ (ba chiều).
Định nghĩa đại số
Tích vô hướng của 2 vectơ a = [a_1, a_2, … , a_n] và b = [b_1, b_2, … , b_n] được định nghĩa là:
Định nghĩa hình học
Tích vô hướng của hai vectơ là tích của các môđun Euclide của hai vectơ và cosin của góc giữa chúng.
Trong không gian Euclide, vectơ Euclide là một đối tượng hình học có cả độ lớn (độ lớn) và hướng (hướng). Kích thước là chiều dài của nó, và hướng của nó là hướng mũi tên chỉ.
Độ lớn của vectơ a^→ được biểu thị bằng ||a^→||. Tích vô hướng của hai vectơ a^→ và b^→ được xác định bởi:
Ở đâu:
- ||a^→|| là kích thước (độ dài) của vectơ a^→
- ||b^→|| là kích thước (độ dài) của vectơ b^→
- θ là góc giữa hai vectơ a^→ và b^→
Từ đó ta tính được góc giữa 2 vectơ a^→(a_1, a_2, a_3) và b^→(b_1, b_2, b_3) , như sau: cosθ = frac{a^→・b^→}{||a^→|| * ||b^→||} ⇒ θ = { cos }^{ -1 }(frac{ a^ →・b^→}{||a^→|| * ||b^→||}) = { cos }^{ -1 }(frac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{sqrt {{ a_1 } ^{ 2 } + { a_2 }^{ 2 } + { a_3 }^{ 2 }} * sqrt {{ b_1 }^{ 2 } + { b_2 }^{ 2 } + { b_3 }^{ 2 } }} ), kết quả θ tính bằng độ ° left( 0° le θ le 180 °right).
Tại sao cos(θ)?
Nhân hai vectơ, nghĩa là nhân độ dài của chúng, nhưng nếu và chỉ khi chúng cùng hướng (cùng hướng). Vậy để nhân 2 vectơ a^→ và b^→ ta cần lấy hình chiếu
của vectơ a^→ lên vectơ b^→
Và ngược lại, ta cũng có thể lấy hình chiếu của vectơ b^→ lên vectơ a^→. Công thức sản phẩm chấm vẫn giống hệt nhau. Vì thứ tự của các số hạng không quan trọng khi thực hiện phép nhân: ||a^→|| * ||b^→|| * cos(θ) = ||a^→|| * cos(θ) * || b^→||
Có thể bạn quan tâm:- Cách đổi góc sang radian và cách đổi radian sang độ. – Tích vectơ – Tích chéo (tích hướng dẫn).
