Hàm số hữu tỷ là một tỷ lệ của các đa thức trong đó đa thức ở mẫu số không được bằng 0. Nó không giống với định nghĩa của số hữu tỷ (có dạng p/q, trong đó q ≠ 0)? Bạn có biết rằng các hàm hữu tỷ có ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta không? Chúng không chỉ mô tả mối quan hệ giữa tốc độ, khoảng cách và thời gian mà còn được sử dụng rộng rãi trong ngành y tế và kỹ thuật.
Hãy cùng tìm hiểu thêm về một hàm hữu tỷ và cách vẽ đồ thị của nó, miền xác định, phạm vi, tiệm cận, v.v. với các ví dụ đã giải.
Hàm hữu tỷ là hàm tỷ lệ của đa thức. Bất kỳ hàm nào của biến x được gọi là hàm hữu tỉ nếu nó có thể được biểu diễn dưới dạng f(x) = p(x)/q(x), trong đó p(x) và q(x) lần lượt là Một đa thức thỏa mãn q(x) ≠ 0. Ví dụ: f(x) = (x2 + x – 2) / (2×2 – 2x – 3) là một hàm hữu tỷ, trong đó 2×2 – 2x – 3 ≠ 0 .
Chúng ta biết rằng mọi hằng số đều là một đa thức, vì vậy tử số của một hàm hữu tỉ cũng có thể là một hằng số. Ví dụ, f(x) = 1/(3x+1) có thể là một hàm hữu tỷ. Tuy nhiên, lưu ý rằng mẫu số của một hàm hữu tỷ không thể là một hằng số. Ví dụ, f(x) = (2x + 3)/4 không phải là một hàm hữu tỷ, mà là một hàm tuyến tính.
Theo định nghĩa hàm số hữu tỷ (ở phần trước), nếu tử số hoặc mẫu số không phải là đa thức thì phân số được tạo thành không biểu thị hàm số hữu tỷ. Ví dụ: f(x) = (4 + √x)/(2-x), g(x) = (3 + (1/x))/(2 – x), v.v. không phải là các hàm hữu tỉ dưới dạng tử số Những ví dụ này không phải là đa thức.
Phân số có mẫu số bằng 0 không xác định chính là chìa khóa để tìm miền xác định và khoảng giá trị của hàm số hữu tỉ.
Trường hàm hữu tỷ
Miền xác định của hàm số hữu tỷ là tập hợp tất cả các giá trị của x mà hàm số có thể nhận. Tìm tập xác định của hàm hữu tỉ y = f(x):
- Đặt mẫu số bằng 0 và giải tìm x.
- Tập hợp tất cả các số thực ngoại trừ giá trị của x đã đề cập ở bước trước là miền xác định.
- Nếu f(x) có trong phương trình, hãy thay nó bằng y.
- Giải phương trình cho x.
- Giả sử mẫu số của phương trình thu được ≠ 0, giải tìm y.
- Tập hợp tất cả các số thực ngoại trừ giá trị của y được đề cập trong bước trước là phạm vi.
- Đầu tiên đơn giản hóa hàm để loại tất cả các nhân tử chung (nếu có).
- Đặt mẫu số = 0 và giải tìm (x) (hoặc tương đương lấy các giá trị bị loại khỏi miền bằng cách tránh các lỗ hổng).
- Nếu n <; d thì tồn tại ha tại y = 0.
- Nếu n > d thì không có gì.
- Nếu n = d, thì ha là tỷ lệ của y = hệ số dẫn đầu.
- Xác định và vẽ các tiệm cận đứng bằng cách sử dụng các đường đứt nét.
- Xác định và vẽ các đường tiệm cận ngang bằng các đường đứt nét.
- Khai lỗ (nếu có)
- Tìm tung độ gốc x (bằng cách sử dụng y=0) và tung độ gốc của y (bằng cách sử dụng x=0) và vẽ chúng.
- Vẽ một bảng có hai cột x và y và đặt giao điểm x và tiệm cận đứng trong bảng. Sau đó lấy một số ngẫu nhiên trong các cột x ở hai bên của mỗi giao điểm x và tiệm cận đứng.
- Tính toán giá trị y tương ứng bằng cách thay thế từng giá trị trong hàm.
- Vẽ tất cả các điểm trong bảng và nối chúng thành một đường cong mà không chạm vào đường tiệm cận.
- Đối với giao điểm x, đặt y = 0. Khi đó ta được 0 = (x + 3)/(x – 1) ⇒ x + 3 = 0 ⇒ x = -3. Vậy tung độ x là (-3, 0).
- Đối với giao điểm y, đặt x = 0. Khi đó ta được y = (0 + 3)/(0 – 1) ⇒ y = -3. Vậy tung độ gốc của y là (0, -3).
- Thay f(x) bằng y.
- Hoán đổi x và y.
- Giải phương trình kết quả cho y.
- Kết quả sẽ cho hàm ngược f-1(x).
- Phương trình hàm hữu tỉ có dạng f(x) = p(x) / q(x), trong đó q(x) ≠ 0.
- Mọi hàm số hữu tỉ đều có ít nhất một tiệm cận đứng.
- Mọi hàm số hữu tỉ có nhiều nhất một tiệm cận ngang.
- Mọi hàm hữu tỉ có nhiều nhất một tiệm cận xiên.
- Các giá trị bị loại trừ cho miền hàm hữu tỷ giúp xác định vas.
- Các giá trị bị loại trừ cho phạm vi hàm hữu tỷ giúp xác định có.
- Việc triệt tiêu hệ số tuyến tính khi đơn giản hàm hữu tỷ sẽ cho ta một kẽ hở.
- Chức năng vẽ
- Máy tính biểu thức hữu tỷ đơn giản hóa
- Máy tính tiệm cận
- Hàm đối ứng
Ví dụ: Tìm tập xác định của f(x) = (2x + 1) / (3x – 2).
Giải pháp thay thế:
Chúng tôi đặt mẫu số khác không.
3x – 2 0 x ≠ 2/3
Do đó, tập xác định = {x ∈ r | x 2/3
Dãy hàm hữu tỷ
Phạm vi của một hàm hữu tỷ là tập hợp tất cả các đầu ra (giá trị y) mà nó tạo ra. Tìm khoảng xác định của hàm hữu tỉ y= f(x):
Ví dụ: Tìm khoảng trong đó f(x) = (2x + 1) / (3x – 2).
Giải pháp thay thế:
Hãy thay f(x) bằng y. Khi đó y = (2x + 1)/(3x – 2). Bây giờ, chúng ta sẽ giải bài toán này cho x.
(3x – 2) y = (2x + 1) 3xy – 2y = 2x + 1 3xy – 2x = 2y + 1 x (3y – 2) = (2y + 1) x = (2y + 1) / ( 3 tuổi – 2)
Bây giờ (3y – 2) 0 y ≠ 2/3
Vậy phạm vi = {y ∈ r | y 2/3
Hàm hữu tỷ có thể có ba loại tiệm cận: tiệm cận ngang, tiệm cận đứng và tiệm cận xiên. Bên cạnh đó, nó cũng có thể có lỗ. Hãy xem làm thế nào để tìm thấy từng người trong số họ.
Hố của hàm hữu tỷ
Hố trong một hàm hữu tỷ là một điểm trên đồ thị của một hàm hữu tỷ dường như tồn tại nhưng thực tế không tồn tại. Chúng có thể thu được bằng cách đặt các thừa số tuyến tính là thừa số chung của tử số và mẫu số của hàm thành 0 và giải tìm x . Chúng ta có thể tìm tọa độ y tương ứng của một điểm bằng cách thay thế giá trị x trong hàm đơn giản hóa. Mọi chức năng hợp lý không cần phải có lỗi. Các lỗ chỉ tồn tại khi tử số và mẫu số có một nhân tử chung tuyến tính.
Ví dụ: Tìm lỗ hổng trong hàm f(x) = (x2 + 5x + 6) / (x2 + x – 2).
Giải pháp thay thế:
Hãy nhân tử số và mẫu số thành nhân tử để xem có nhân tử chung hay không.
f(x) = [ (x + 2)(x + 3) ] / [ (x + 2) (x – 1) ] = [ ̶(̶x̶̶+̶̶2̶)̶(x + 3) ] / [ ̶(̶x̶̶+̶̶2̶)̶ (x – 1) ] = (x + 3) / (x – 1)
Vì (x + 2) bị gạch bỏ nên có một lỗ hổng tại x = -2. Tọa độ y của nó là f(-2) = (-2 + 3)/(-2 – 1) = -1/3.
Do đó, có một lỗ tại (-2, -1/3).
Các tiệm cận đứng của hàm hữu tỉ
Tiệm cận đứng (va) của một hàm số là một đường thẳng đứng tưởng tượng mà các đồ thị của nó có vẻ rất gần nhau nhưng không bao giờ chạm vào nhau. Nó có dạng x = một số. Ở đây, “một số” có liên quan chặt chẽ với các giá trị bị loại trừ khỏi miền. Tuy nhiên, lưu ý rằng bạn không thể có một tiệm cận đứng tại x = một số nào đó nếu có một lỗ ở cùng một số. Các hàm hữu tỷ có thể có một hoặc nhiều tiệm cận đứng. Vì vậy, để tìm tiệm cận đứng của một hàm hữu tỉ:
Ví dụ: Tìm tiệm cận đứng của hàm số f(x) = (x2 + 5x + 6) / (x2 + x – 2).
Giải pháp thay thế:
Chúng ta đã thấy rằng hàm này có thể được đơn giản hóa thành f(x) = (x + 3)/(x – 1).
Đặt mẫu số bằng 0, ta được
x – 1 = 0 x = 1
Va của một hàm hữu tỷ là, x = 1.
Tiệm cận ngang của hàm hữu tỉ
Tiệm ngang (ha) của một hàm số là một đường nằm ngang tưởng tượng mà đồ thị của nó có vẻ rất gần nhưng không bao giờ chạm nhau. Nó có dạng y = một số. Ở đây, “một số” có liên quan chặt chẽ với giá trị bị loại trừ khỏi phạm vi. Hàm số hữu tỉ có thể có nhiều nhất một tiệm cận ngang. Một cách đơn giản để tìm tiệm cận ngang của một hàm hữu tỉ là sử dụng bậc của tử số (n) và mẫu số (d).
Ví dụ: Tìm tiệm cận ngang, nếu có, của hàm số f(x) = (x2 + 5x + 6) / (x2 + x – 2).
Giải pháp thay thế:
Bậc của tử số ở đây là n = 2, và bậc của mẫu số là d = 2.
Vì n = d nên ha là y = (hệ số hàng đầu của tử số) / (hệ số hàng đầu của mẫu số) = 1/1 = 1.
Do đó, ha là y = 1.
Tiệm cận dốc (nghiêng) cho hàm hữu tỉ
Một tiệm cận xiên cũng là một đường xiên tưởng tượng mà một phần của đồ thị có vẻ như tiếp xúc với nhau. Hàm hữu tỉ chỉ có tiệm cận xiên khi bậc của tử số (n) lớn hơn bậc của mẫu số (d) đúng 1 đơn vị. Phương trình của nó là y = thương, thu được bằng cách chia tử số cho mẫu số bằng phép chia dài.
Ví dụ: Tìm tiệm cận xiên của hàm số f(x) = x2/(x+1).
Giải pháp thay thế:
Bậc của tử số ở đây là 2, và bậc của mẫu số là 1, vì vậy nó có một tiệm cận dốc.
Hãy chia x2 cho (x + 1) bằng phép chia dài (hoặc chúng ta cũng có thể sử dụng phép chia tổng hợp).
Vậy tiệm cận dốc là y = x – 1.
Dưới đây là các bước để vẽ một hàm hữu tỷ:
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm hữu tỷ f(x) = (x2 + 5x + 6) / (x2 + x – 2).
Giải pháp thay thế:
Chúng tôi đã xác định rằng và của nó là x = 1, ha của nó là y = 1 và lỗ là (-2, -1/3). Chúng tôi sử dụng các đường đứt nét làm tiệm cận để có thể đảm bảo rằng đồ thị không chạm vào các đường này. Lưu ý rằng dạng đơn giản của hàm đã cho là f(x) = (x + 3)/(x – 1). Bây giờ, chúng ta sẽ tìm phần chặn.
va của chúng ta ở x = 1 và giao điểm x ở x = -3. Bây giờ, hãy tạo một bảng có hai giá trị này trong cột x và một số số ngẫu nhiên ở hai bên của mỗi số này -3 và 1.
Hãy vẽ tất cả các điểm này trên đồ thị cùng với tất cả các tiệm cận, lỗ trống và giao điểm.
Tìm hàm nghịch đảo của hàm hữu tỉ y = f(x):
Ví dụ: Tìm nghịch biến của hàm hữu tỉ f(x) = (2x – 1)/(x + 3).
Giải pháp thay thế:
Hàm đã cho có thể viết là:
y = (2x – 1) / (x + 3)
Hoán đổi x và y:
x = (2y – 1) / (y + 3)
Bây giờ, chúng ta sẽ tìm y.
x(y + 3) = 2y – 1
xy + 3x = 2y – 1
3x + 1 = 2y – xy
3x + 1 = y (2 – x)
y = (3x + 1) / (2 – x) = f-1(x)
Lưu ý quan trọng về hàm hữu tỷ:
☛ Chủ đề liên quan:
