Làm cách nào để tìm giá trị lớn nhất (gtln) hoặc giá trị nhỏ nhất (gtnn) của một biểu thức? Chúng ta sẽ tìm hiểu qua các bài sau, để từ đó 1ua vận dụng vào giải một số bài tập tìm gtln, gtnn của biểu thức.
I. Cách tìm giá trị lớn nhất (gtln) và giá trị nhỏ nhất (gtnn) của một biểu thức
•Với biểu thức a, nếu chứng minh được hai điều kiện thì ta nói k là gtnn của a:
i) a ≥ k với mọi giá trị của biến của biểu thức a
ii) Đồng thời tính giá trị của biến cụ thể của a sao cho giá trị của a sau khi thay thế là k.
• Tương tự, với biểu thức b, ta nói h là gtln của b nếu chứng minh được hai điều kiện:
i) b ≤ h với mọi giá trị của biến của biểu thức b.
ii) Đồng thời ta tìm giá trị của biến cụ thể của b để khi thay vào b nhận giá trị h.
*Lưu ý: Khi làm bài toán tìm gtln và gtnn, học sinh thường mắc 2 lỗi sau:
1) Khi chứng minh i), học sinh quá ham rút ra kết luận mà quên kiểm tra điều kiện ii)
2) i) và ii) đã hoàn thành, nhưng học sinh quên so sánh điều kiện ràng buộc của các biến.
Hiểu đơn giản, bài toán này yêu cầu xét một số biến nhất định (tức là nối các ràng buộc) nhưng học sinh lại không để ý rằng các giá trị biến tìm được ở bước ii) nằm ngoài tập hợp. Đối với phía trước.
* Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a = (x2 + 1)2 – 3
Một giải pháp giả định như sau:
Vì (x2 + 1)2 ≥ 0 (x2 + 1)2 – 3 ≥ -3 ⇔ a ≥ -3
Giá trị nhỏ nhất của a là -3.
→ Kết luận về gtnn như vậy là sai 1) ở trên, tức là quên kiểm tra điều kiện ii).
Thật ra để a bằng 4 thì ta phải có (x2 + 1)2 = 0, nhưng điều này không thể xảy ra với mọi giá trị của biến x.
* Ví dụ 2: Với x là số nguyên không âm, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a = (x + 2)2 – 5.
Một giải pháp giả định như sau:
Vì (x + 2)2 ≥ 0 nên (x + 2)2 – 5 ≥ – 5 ⇔ a ≥ – 5
Dấu “=” xuất hiện khi và chỉ khi (x + 2)2 = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = -2
Gtnn cho a = -5 khi x = -2.
→ Kết luận như vậy là sai 2) Bài toán trên, do đề bài cho x là số nguyên không âm nên x sẽ không nhận giá trị x = -2 nên min(a) = -5.
tr >
Vì vậy các bạn phải chú ý, khi tìm gtln và gtnn của biểu thức (a) thì biểu thức (a) sẽ đạt gtln hoặc gtnn đó, khi biến (x) nhận giá trị này thì giá trị này thỏa mãn có bao nhiêu để hạn chế các biến của bài toán hay không, từ đó rút ra kết luận.
Hai. Bài tập tìm giá trị lớn nhất (gtln) và giá trị nhỏ nhất (gtnn) của một biểu thức
•Dạng 1: Tìm gtnn, gtln của biểu thức ở dạng tam thức bậc hai
Phương pháp: Đối với dạng lượng giác bậc hai, chúng ta trả về bình phương của tổng (hoặc hiệu) của biểu thức đã cho cộng (hoặc trừ) một số tự do, có dạng:
- d – (a ± b)2 ≤ d Ta tìm giá trị lớn nhất.
- (a ± b)2 ± c ≥ ± c ta tìm giá trị nhỏ nhất.
- |x + y| |x| + |y| “=” khi x.y ≥ 0
- |x – y| |x| – |y|
* Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: a = (x – 3)2 + 5
>Giải pháp:
– vì (x – 3)2 ≥ 0 ⇔ (x – 3)2 + 5 ≥ 5 ⇔ a ≥ 5.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức a = 5 xảy ra khi x – 3 = 0 ⇔ x = 3.
Kết luận: GTnn của a là 5 khi x=3.
*Bài tập 2:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: a = 2×2 – 8x + 3
>Giải pháp:
– Ta có: a = 2×2 – 8x + 3 = 2×2 – 8x + 8 – 5
⇔ a = 2×2 – 8x + 8 – 5
⇔ a = 2(x2 – 4x + 4) – 5
⇔ a = 2(x – 2)2 – 5
Vì (x – 2)2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 2)2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 2)2 – 5 ≥ -5
Ký hiệu “=” xảy ra khi (x – 2)2 = 0 ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2.
Kết luận: GTnn của a là 5 khi x=2.
* Bài tập 3: Tìm gtnn của biểu thức: a = 2×2 – 6x
>Giải pháp:
– Ta có: a = 2×2 – 6x
Bởi vì
Biểu tượng “=” xuất hiện trong
Vậy gtnn của a bằng -9/2 thu được khi x=3/2
*Bài tập 4: Tính cực đại của biểu thức (gtln): b = 2 + 4x – x2
>Giải pháp:
– Ta có: b = 2 + 4x – x2 = 6 – 4 + 4x – x2
= 6 – (4 – 4x + x2) = 6 – (2 – x)2
Vì (2 – x)2 0
⇒ -(2 – x)2 0 (đổi dấu thành dịch chuyển)
⇒ 6 – (2 – x)2 6 (cộng 6 ở cả hai vế)
Vậy gtln của biểu thức b bằng 6, nhận được khi (2 – x)2 = 0 ⇒ x = 2.
*Bài tập 5: Tính cực đại của biểu thức (gtln): c = 2x – x2
>Giải pháp:
– Ta có: c = 2x – x2 = -x2 + 2x – 1 + 1
= 1 – (x2 – 2x + 1) = 1 – (x – 1)2
Vì (x – 1)2 0
⇒ -(x – 1)2 0 (đổi dấu thành chuyển)
⇒ 1 – (x – 1)2 1 (cộng 1 vào cả hai vế)
Vậy khi (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1 thì gtln của biểu thức c bằng 1
•Dạng 2: Tìm gtnn, gtln của biểu thức chứa ký hiệu tuyệt đối
Phương pháp: Đối với tìm kiếm gtln này, chúng tôi có hai phương pháp:
+) Cách 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta chuyển biểu thức a đã cho về dạng a ≥ a (với a là số biết trước) để suy ra giá trị nhỏ nhất của a là a hoặc chuyển về dạng a ≤ b (với b là số biết trước)) rồi dẫn xuất Giá trị lớn nhất của a là b.
+) Cách 2: dựa vào biểu thức chứa hai số hạng là hai biểu thức bằng ký hiệu tuyệt đối. Chúng tôi sẽ sử dụng thuộc tính này:
Với x, y ∈ q ta có:
* Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a = (2x – 1)2 – 6|2x – 1| + 10
>Giải pháp:
– Đặt y = |2x – 1| ⇒ y2 = (2x – 1)2
– Ta có: a = (2x – 1)2 – 6|2x – 1| + 10 = y2 – 6y + 10
= y2 -2.3.y + 9 + 1 = (y – 3)2 + 1
Vì (y – 3)2 ≥ 0 ⇒ (y – 3)2 + 1 ≥ 1.
min(a) = 1 nếu chỉ có (y – 3)2 = 0 ⇔ y = 3 ⇔ |2x – 1| = 3
⇔ 2x – 1 = 3 hoặc 2x – 1 = -3
⇔ 2x = 4 hoặc 2x = -2
⇔ x = 2 hoặc x = -1.
Kết luận: Biểu thức đạt cực tiểu là 1 khi x = 2 hoặc x = -1.
*Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: b = |x – 1| + |x – 3|
>Giải pháp:
– Lưu ý rằng |-a| = |a|, vì vậy chúng ta có:
b = |x – 1| + |x – 3| = |x – 1| + |3 – x| | x – 1 + 3 – x | = 2.
Hệ quả: b ≥ 2 ký hiệu “=”
⇔ x – 1 0 và 3 – x 0;
Hoặc x – 1 0 và 3 – x 0
⇔(x 1 và 3 ≥ x)
Hoặc (x 1 và 3 ≤ x)
⇔ 1 x 3
