Trung tâm Gia sư Hà Nội chia sẻ đến các em học sinh cách chứng minh đẳng thức véc tơ chương 1 Hình học 10 các dạng toán lớp 10.
Làm được dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm chắc lý thuyết và quy tắc. Biết sử dụng phép tính cộng, trừ, nhân vectơ với số, tích vô hướng. Và sử dụng quy tắc trung điểm, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện, quy tắc hình bình hành, hình khối…
Phương pháp chứng minh đẳng thức véc tơ
1) Sử dụng:
+ Quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{a b}+\overrightarrow{b c}=\overrightarrow{a c}, \overrightarrow{a c}-\overrightarrow{a b}=\overrightarrow{b c } $ có nghĩa là tất cả $a, b, c$.
+ Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{a b}+\overrightarrow{a d}=\overrightarrow{a c}$ trong đó $abcd$ là hình bình hành.
+ Quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{m a}+\overrightarrow{m b}=2 \overrightarrow{m i}$ trong đó $i$ là trung điểm của $a b$.
+ Quy tắc tiêu điểm: $\overrightarrow{g a}+\overrightarrow{g b}+\overrightarrow{g c}=\overrightarrow{0}$ trong đó $g$ nằm ở tâm của tam giác $a b c$.
p>
+ Thuộc tính hành động.
2) Thực hiện chuyển đổi theo một trong các hướng sau:
+ Biến đổi một vế của phương trình sang vế kia (thường là từ vế phức, rút gọn về vế đơn giản).
+ Chuyển đổi một phương trình để chứng minh sự tương đương thành một phương trình luôn đúng.
+ xuất phát từ một đẳng thức luôn đúng để biến đổi đẳng thức cần chứng minh.
– Lưu ý: $\delta a b c$ và $\delta a^{\prime} b^{\prime} c^{\prime}$ có cùng ý tưởng khi chi tiêu $\ mathrm { when} \overline{a a^{\prime}}+\overline{b b^{\prime}}+\overline{c c^{\prime}}=\overrightarrow{0}$
Bài tập chứng minh đẳng thức véc tơ bằng lời giải:
Câu 1: Cho 4 điểm a, b, c, d. Bằng chứng:
a) $\overrightarrow{a b}+\overrightarrow{c d}=\overrightarrow{a d}+\overrightarrow{c b}$
b) $\overrightarrow{a b}-\overrightarrow{c d}=\overrightarrow{a c}-\overrightarrow{b d}$
Cách 1: Biến đổi vế trái (vt) ta có: $v t=\overrightarrow{a b}+\overrightarrow{c d}=(\overrightarrow{a d}+\ overrightarrow {d b})+(\overrightarrow{c b}+\overrightarrow{b d}) \quad=\overrightarrow{a d}+\overrightarrow{c b}+\overrightarrow{d b}+\overrightarrow{ b d } \quad=\overrightarrow{a d}+\overrightarrow{c b}+\overrightarrow{0}$ $=\overrightarrow{a d}+\overrightarrow{c b}=v p$
Lưu ý Khi sử dụng giải pháp này, chúng ta cần lưu ý thay đổi các thuật ngữ ở một bên của phân tích thành các thuật ngữ xuất hiện ở bên kia. Ví dụ: mục bên trái là $\overrightarrow{a b}$ nhưng bên phải chứa $\overrightarrow{a d}$ nên chúng tôi viết $\overrightarrow{a b}=\overrightarrow{a d}+ overrightarrow{d b }$
Cách 2: Ta có:
$\overrightarrow{a b}+\overrightarrow{c d}=\overrightarrow{a d}+\overrightarrow{c b}(1) \leftrightarrow \overrightarrow{a b}-\overrightarrow{a d} =\overrightarrow{c b}-\overrightarrow{c d} \leftrightarrow \overrightarrow{d b}=\overrightarrow{d b}(2)$
Ta chứng minh được (2) luôn đúng với (1).
Cách 3: Ta có:
$\overrightarrow{a b}+\overrightarrow{b c}+\overrightarrow{c d}+\overrightarrow{d a}=\overrightarrow{0}$
Suy ra $\overrightarrow{a b}+\overrightarrow{c d}=-\overrightarrow{d a}-\overrightarrow{b c}$
Do đó: $\overrightarrow{a b}+\overrightarrow{c d}=\overrightarrow{a d}+\overrightarrow{c b}$
b) Ta có:
$vt=\overrightarrow{a b}-\overrightarrow{c d}=(\overrightarrow{a c}+\overrightarrow{c b})-(\overrightarrow{c b}+\overrightarrow{b d} )=\overrightarrow{a c}-\overrightarrow{b d}+\overrightarrow{c b}-\overrightarrow{c b}=\overrightarrow{a c}-\overrightarrow{b d}=vp$
Tương tự, ta có cách chứng minh khác cho mệnh đề b.
Bài toán 2: Cho tam giác $a b c$ và $g$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $a b c$. a) Chứng minh: $\overrightarrow{m a}+\overrightarrow{m b}+\overrightarrow{m c}=3 \overrightarrow{m g}$ b) Tìm tập hợp điểm $m$ sao cho $\overrightarrow{ m a} +\overrightarrow{m b}+\overrightarrow{m c}=0$ $\begin{array}{llll}\text { a) } & \text{ ta } & \text { có: } & \overrightarrow{m a}+\overrightarrow{m b}+\overrightarrow{m c} & =(\overrightarrow{m g}+\overrightarrow{g a})+(\overrightarrow{m g }+ \overrightarrow{g b})+(\overrightarrow{m g}+\overrightarrow{g c})\ end{array}$ $=3 \overrightarrow{m g}+(\overrightarrow{g a}+ \ overrightarrow{g b}+\overrightarrow{g c})=3 \overrightarrow{m g}+\overrightarrow{ 0}=3 \overrightarrow{m g}$ b) $\mathrm{en} \overrightarrow {m a }+\overrightarrow{m b}+\overrightarrow{m c}=\overrightarrow{0}$ $3 overrightarrow{m g}=\overrightarrow{0}$ hoặc $\overrightarrow{m g}= overrightarrow {0}$ do $m \equiv g$ tập suy ra $m$ lucky $\ overrightarrow{m a }+\overrightarrow{m b}+\overrightarrow{m c}=\vec{o}$ là $ {g\}$.
Bài tập chứng minh đẳng thức của các vectơ tự giải được:
bài 1.Cho tứ diện $abcd$. Gọi $m$ và $n$ lần lượt là trung điểm của $ab$ và $cd.$. Chứng minh:
a) $ \displaystyle 2\overrightarrow{{mn}}=\overrightarrow{{ad}}+\overrightarrow{{bc}}=\overrightarrow{{ac}}+\overrightarrow{ {bd}}$
b) Điểm $g$ là trọng tâm của tứ diện $abcd$ khi và chỉ khi $ \displaystyle \overrightarrow{{ga}}+\overrightarrow{{gb}}+\overrightarrow{{ gc } }+\overrightarrow{{gd}}=\overrightarrow{0}$
Sau 2. Cho tứ diện $abcd$ có tâm là $g$.
a) chứng minh $ \overrightarrow{{ab}}+\overrightarrow{{ac}}+\overrightarrow{{ad}}=4\overrightarrow{{ag}}$
b) Gọi ${a}’$ là trọng tâm của tam giác $bcd$. Chứng minh: $\overrightarrow{{{a}’b}}.\overrightarrow{{a{a}’}}+\overrightarrow{{{a}’c}}.\overrightarrow{{a{ a }’}}+\overrightarrow{{{a}’d}}.\overrightarrow{{a{a}’}}=\vec{0}$
Sau 3. Đối với hình hộp $abcd.{a}'{b}'{c}'{d}’$. Gọi ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$, ${{d}_{3}}$ lần lượt là điểm đối xứng của ${d}’$ qua $ một $, ${b}’$, $c$. Chứng minh rằng $b$ là trọng tâm của tứ diện ${{d}_{1}}{{d}_{2}}{{d}_{3}}{d}’. $
Ví dụ 3. Cho hình hộp abcd.a’b’c’d’. Lần lượt gọi $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ là dấu dương của điểm d’ với $a, b^{\prime}, c.$ Ta giả sử rằng $b$ là trọng tâm của tứ diện $d_{1} d_{2} d_{3} d^{\prime}$
bài 4. Đối với kim tự tháp $s.abcd$.
Chứng minh rằng nếu $abcd$ là hình bình hành thì $ \overrightarrow{{sb}}+\overrightarrow{{sd}}=\overrightarrow{{sa}}+\overrightarrow{{sc} }$
Gọi o là giao điểm của ac và bd. Chứng minh rằng $abcd$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{{sa}}+\overrightarrow{{sb}}+\overrightarrow{{sc}}+\overrightarrow{{sd}} = 4 overrightarrow{{so}}$
-
Đề cương ôn tập HK2 môn Toán lớp 10
-
244 câu trắc nghiệm Đại số lớp 10 chương 3 có đáp án
-
Chuyên đề lượng giác – Toán lớp 10
-
Phương pháp giải bài toán hình học tọa độ Oxy lớp 10
-
Tiệm cận và sai số Bài tập trắc nghiệm – Đại số 10
-
Bài tập trắc nghiệm suy luận và mệnh đề – Đại số 10
-
Ôn tập học kì 1 Toán 10: Đại số và Hình học
