Câu a:
Ta có:
\(\left\{ \ma trận{ x\sqrt 2 – y\sqrt 3 = 1 \hfill \cr x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \hfill \cr} \right \leftrightarrow \left\{ \ma trận{ x\sqrt 2 – y\sqrt 3 = 1 \hfill \cr x = \sqrt 2 – y\ sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)
\(\leftrightarrow \left\{ \ma trận{ \left( {\sqrt 2-y\sqrt 3 } \right)\sqrt 2 – y\sqrt 3 = 1 \ (1) \hfill \cr x = \sqrt 2 – y\sqrt 3 \ (2) \hfill \cr} \right.\)
Giải phương trình \((1)\), ta được:
\(( \sqrt 2 – y\sqrt 3)\sqrt 2 – y\sqrt 3 = 1\)
\( \leftrightarrow (\sqrt 2)^2 – y\sqrt 3 . \sqrt 2 – y\sqrt 3 = 1 \)
\( \leftrightarrow 2 – y\sqrt 3 . \sqrt 2 – y\sqrt 3 = 1 \)
\( \leftrightarrow -y\sqrt 3. \sqrt 2 – y\sqrt 3 = 1 – 2\)
\(\begin{array}{l} \leftrightarrow – y\sqrt 6 – y\sqrt 3 = – 1\\ \leftrightarrow y\left( {\sqrt 6 + \sqrt 3 } \right) = 1\\ \leftrightarrow y = \dfrac{1}{{\sqrt 6 + \sqrt 3 }}\\ \leftrightarrow y = \dfrac{{\sqrt 6 – \sqrt 3 }}{3}\\ \leftrightarrow y = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 2 – 1} \ Right)}}{3} \end{array}\)
Thay \(y\) vào phương trình \((2)\), ta được:
\(x = \sqrt 2 – \dfrac{\sqrt 3 (\sqrt 2 -1)}{3}.\sqrt 3\)
\( \leftrightarrow x=\sqrt 2 – \dfrac{\sqrt 3 .\sqrt 3(\sqrt 2 -1)}{3} \)
\(\leftrightarrow x=\sqrt 2 – \dfrac{ 3(\sqrt 2 -1)}{3} =\sqrt 2 – (\sqrt 2 -1) \)
\(\leftrightarrow x=\sqrt 2 -\sqrt 2 +1=1.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: \( {\left( 1;\dfrac{\sqrt 3 (\sqrt 2 -1)}{3} \right)} )
Câu B:
Ta có:
\(\left\{ \ma trận{ x – 2\sqrt 2 y = \sqrt 5 \hfill \cr x\sqrt 2 + y = 1 – \sqrt {10 } \hfill \cr} \right.\)
\(\leftrightarrow \left\{ \ma trận{ x = 2\sqrt 2 y + \sqrt 5 \ (1) \hfill \cr \left( {2 sqrt 2 y + \sqrt 5 } \right).\sqrt 2 + y = 1 – \sqrt {10}\ (2) \hfill \cr} \right.\)
Giải phương trình \((2)\), ta được:
\(\left( {2\sqrt 2 y + \sqrt 5 } \right).\sqrt 2 + y = 1 – \sqrt {10}\)
\(\leftrightarrow 2(\sqrt 2 .\sqrt 2)y + \sqrt 5 .\sqrt 2 + y = 1 – \sqrt {10}\)
\(\leftrightarrow 4y + \sqrt{10}+y=1- \sqrt{10}\)
\(\leftrightarrow 4y +y=1- \sqrt{10}- \sqrt{10} \)
\(\leftrightarrow 5y=1-2 \sqrt{10}\)
\(\leftrightarrow y=\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5}\)
Thay \(y=\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5}\) bằng \((1)\) ta được:
\(x = 2\sqrt 2 .\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5} + \sqrt 5= \dfrac{2\sqrt 2 -4 \ Căn bậc hai {20}}{5} + \căn bậc hai 5\)
\(\leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt 2 -4 .2\sqrt{5}}{5} + \sqrt 5=\dfrac{2\sqrt 2 – 8\sqrt{5}+ 5\sqrt 5}{5}\)
\(\leftrightarrow x=\dfrac{2 \sqrt 2 -3 \sqrt 5}{5}\)
Vậy hệ nghiệm duy nhất là: \((x; y)\) = \({\left(\dfrac{2\sqrt{2} – 3\sqrt{5} } {5};\dfrac{1 – 2\sqrt{10}}{5}\right)}\)
Câu c:
Ta có:
\(\left\{ \ma trận{ \left( {\sqrt 2 – 1} \right)x – y = \sqrt 2 \hfill \cr x + \ left({\sqrt 2 + 1} \right)y = 1 \hfill \cr} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {\sqrt 2 – 1} \right)x – \sqrt 2 \,\ ,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)x – \sqrt 2 } \right] = 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} Có.\)
Giải phương trình \((2)\), ta được:
\(x + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ { \left( {\sqrt 2 – 1} \right)x} -\ sqrt 2 \right] = 1\)
\(\leftrightarrow x + (\sqrt 2 + 1) (\sqrt 2 – 1)x -( \sqrt 2 + 1).\sqrt 2 = 1\)
\(\leftrightarrow x + {\left((\sqrt 2)^2 – 1^2 \right)}x-( 2 + \sqrt 2) = 1\)
\(\leftrightarrow x + x = 1+( 2 + \sqrt 2)\)
\(\leftrightarrow 2x =3 +\sqrt 2\)
\(\leftrightarrow x=\dfrac{3+ \sqrt 2}{2}\)
Thay \(x=\dfrac{3+ \sqrt 2}{2}\) bằng \((1)\) ta được:
\(y = \left( {\sqrt 2 – 1} \right).\dfrac{3+ \sqrt 2}{2} – \sqrt 2\)
\( \leftrightarrow y= \dfrac{(\sqrt 2 – 1 )(3+ \sqrt 2)}{2} – \sqrt 2 \)
\( \leftrightarrow y= \dfrac{3\sqrt 2 -3 +2 -\sqrt 2}{2} – \sqrt 2 \)
\( \leftrightarrow y= \dfrac{2\sqrt 2 -1}{2} – \sqrt 2 \)
\( \leftrightarrow y= \dfrac{2\sqrt 2 -1-2\sqrt 2}{2} \)
\( \leftrightarrow y= \dfrac{-1}{2} \)
Vậy hệ có nghiệm \((x; y) = {\left(\dfrac{3 + \sqrt{2}}{2};\dfrac{-1}{2} Phải)}\)
– Đề toán lớp 9 bài 247
