Vi phân là một chuyên mục văn bản liên quan đến các công thức tính đạo hàm và tích phân. Đây là học phần rất quan trọng trong chương trình môn Toán THPT, các em phải nắm vững kiến thức vi phân từ cơ bản đến chi tiết. Tài liệu tham khảo dưới đây sẽ cung cấp cho bạn đọc những kiến thức thú vị về sự khác biệt.
1. Khác biệt hóa là gì?
Phương trình vi phân trong tiếng Anh được gọi là phương trình vi phân.
Phương trình vi phân ra đời theo sự phát triển của khoa học kỹ thuật và nhu cầu của thực tế, là một môn toán cơ sở có lý thuyết vững chắc và ứng dụng rộng rãi.
Nhiều vấn đề cơ học và vật lý dẫn đến việc nghiên cứu các phương trình vi phân tương ứng. Nhánh toán học này góp phần phát triển các lý thuyết chung của các nhánh toán học và khoa học khác. Nó tồn tại và góp phần tạo nên sự hấp dẫn thú vị, tính hoàn chỉnh sâu sắc và hiệu quả của việc tối ưu hóa, điều khiển tối ưu, phân tích số, tính toán khoa học và nhiều lĩnh vực khác, …
Trong toán học, vi phân là một nhánh của giải tích nghiên cứu tốc độ thay đổi của một hàm theo một biến. Đây là một trong hai nhánh truyền thống của giải tích, nhánh còn lại là giải tích nghiên cứu diện tích dưới các đường cong.
Sự khác biệt là một giá trị rất, rất nhỏ. Ta thường viết vi phân với các kí hiệu như 𝑑𝑥; 𝑑𝑦; 𝑑𝑡;… với:
- 𝑑𝑥 là một thay đổi nhỏ trong giá trị của một biến.
- 𝑑𝑦 là một thay đổi rất nhỏ trong giá trị của một biến.
- 𝑑𝑡 là một thay đổi nhỏ trong giá trị của một biến.
Khi so sánh hai đại lượng liên quan có giá trị nhỏ vô hạn, chẳng hạn 𝑦 là một hàm nào đó của biến 𝑥, ta nói đạo hàm của 𝑑𝑦, trong đó 𝑦 = 𝑓(𝑥) được viết là: dy = f'( x) dx .
Lưu ý: Chúng tôi coi dy/dx là phân số (nghĩa là chúng tôi có quyền truy cập để thao tác trên tử số và mẫu số một cách độc lập) chứ không phải là toán tử.
2. Phép tính chênh lệch:
2.1. Phép tính vi phân cơ bản:
Cho hàm f(x) xác định tại x0 và lân cận của nó. Cho x một số gia tùy ý Δx, nếu số gia của hàm y=f(x0+x)-f(x0) được viết ở dạng sau: Δy=aΔx+α(Δx). /p>
Trong đó a là một đại lượng không phụ thuộc vào Δx, α(Δx) nhỏ hơn vô cùng so với Δx (tức là, α(Δx)→0 khi Δx→0) ta nói rằng hàm f(x) có thể là đại lượng vi aΔx tại điểm là vi phân của hàm số tại một điểm. Ký hiệu: dy=Δa.x.
2.2. Hàm vi phân ẩn:
Đối với các phương trình trong đó y không thể được biểu thị thành x bằng cách đổi vế đơn giản, ví dụ: 4y³ + 2x²y² + 3x² = 0.
Sử dụng phương pháp thông thường để tính toán dy/dx, rất phức tạp hoặc thậm chí không thể thay thế y bằng x. Vì vậy, chúng ta phải có một số cách tính toán vi phân để xác định tốc độ thay đổi của y khi x thay đổi.
Đối với điều này, chúng ta cần biết vi phân của hàm ẩn.
2.3. Sự khác biệt về chức năng và sức mạnh:
Hàm hợp: Nếu là nguyên hàm của 𝑢, và 𝑢 là nguyên hàm của 𝑥 thì ta nói: “𝑦 là nguyên hàm của 𝑢”.
Ví dụ: mô tả phương trình: y=(2x+5)¹³
Trả lời: Nếu gọi u=2x+5 (biểu thức trong ngoặc) thì phương trình trên được viết lại thành: y=u¹³
Ta viết y là một hàm của u, và tương tự, u là một hàm của x. Đây là một khái niệm quan trọng trong sự khác biệt. Các phương trình chúng ta đã gặp cho đến nay sẽ là phương trình bên trong phương trình và chúng ta cần xác định chúng để có thể phân biệt chính xác.
Quy tắc dây chuyền Để tìm đạo hàm phức, bạn cần sử dụng quy tắc dây chuyền: dy—dx=dy—du.du—dx
Điều này có nghĩa là chúng ta cần:
– Phát hiện u (luôn chọn biểu thức trong cùng, thường nằm trong dấu ngoặc đơn hoặc dưới dấu căn).
– Khi đó ta cần viết biểu thức y theo u.
– Đạo hàm y (theo u) thì ta ký hiệu mọi thứ theo x.
– Bước tiếp theo là tìm dy—dx.
– Nhân dy—du với du—dx.
2.4. Vi sai toàn phần:
Phương trình vi phân dạng:
m(x,y)dx + n(x,y)dy =0 (1)
Khi
thỏa mãn điều kiện gọi là phương trình vi phân toàn phần: vế trái của phương trình (1) phải là vi phân toàn phần của một hàm khả vi. Nghĩa là, tồn tại một hàm khả vi u(x,y) sao cho: du(x,y)=m(x,y)dx+n(x,y)dy.
Điều kiện để phương trình vi phân trong công thức (1) trở thành phương trình vi phân đầy đủ (hay cách nhận biết phương trình vi phân đầy đủ) là: ∂m—∂y=∂n—∂x.
3. Một số công thức vi phân:
Để tính phần trăm, chúng ta có thể sử dụng một số công thức sau:
Công thức: cos xdx = d(sin x)
Công thức: sin xdx = -d(cos x)
Công thức: 1—sin²x dx = -d(cot x)
Công thức: 1—cos²x dx = d(tan x)
Công thức: e×dx = d(e×)
Công thức: a×dx = 1—ln a d(a×)
Công thức: 1—x dx = d(ln x)
Công thức: sin(ax + b)dx = -1/ad(cos(ax + b))
4. Ứng dụng khác biệt:
Sự khác biệt có thể giúp chúng ta giải quyết nhiều vấn đề trong thế giới thực. Chúng tôi sử dụng đạo hàm để xác định giá trị cực đại và cực tiểu của các hàm riêng lẻ (ví dụ: chi phí, chiều dài, lượng vật liệu sử dụng để xây dựng, lãi, lỗ, ..). Giải tích dễ dàng bắt gặp trong các bài toán liên quan đến cơ học và tin học, nhất là khi ta mô hình hóa các tính chất của vật chuyển động.
4.1. Ứng dụng mạch rl:
Chúng ta hãy xem xét mạch rl hiển thị ở trên (điện trở r và cuộn cảm l). Lúc t = 0, công tắc đóng và có dòng điện chạy qua mạch. Các định luật về điện phát biểu rằng điện áp trên một điện trở có điện trở r bằng r, và điện áp trên một cuộn cảm l được cho bởi l di/dt (trong đó i là dòng điện). Một định luật khác đưa ra phương trình cho tất cả các điện áp trong mạch trên: l di/dt + ri = e , trong đó e là điện áp không đổi.
Phương trình vi phân trên có thể viết là: l [ di / dt ] / [e – ri ] = 1 có thể viết là: (l / r) [ – r di ] / [e – ri ] = dt tích phân cả hai bên: (l / r) ln(e – r i) = t + c , c là hằng số tích phân. Tìm hằng số c bằng cách đặt i = 0 tại t = 0 (khi đóng công tắc) cho c = (-l / r) ln(e) thay vì c vào giải pháp: (l / r) ln(e – r i ) ) = t + (-l/r) ln(e) có thể viết là: – (l/r) ln(e)- (l/r) ln(e – r i) = t – ln[e/( e – ri) ] = t(r/l) Chuyển sang dạng mũ: [e/(e – ri)] = e t(r/l) Giải i cho i = (e/r) (1-e -rt /l)
Mô hình ban đầu của mạch là một phương trình vi phân, sau khi giải, biểu thức dòng điện trong mạch là một hàm của thời gian.
4.2. Ứng dụng trong công thức Newton:
Bài viết này hữu ích cho các phương trình phức tạp mà bạn không thể giải hoàn toàn bằng đại số.
Máy tính sử dụng công thức vòng lặp để giải phương trình. Quá trình này bao gồm việc đoán nghiệm đúng và áp dụng công thức để đưa ra phán đoán chính xác hơn cho đến khi chúng ta tìm được giá trị tốt nhất (có thể gần đúng) cho phương trình.
Nếu chúng ta muốn tìm (𝑥) = 0 (loại bài toán phổ biến), thì chúng ta đoán một giá trị gần đúng nào đó của x1 mà từ đó chúng ta có thể tìm được giá trị gần đúng bằng cách sử dụng công thức Newton: x2=x1−f(x1)f ‘ (x1)
4.3. Ứng dụng trong chuyển động cong:
Trong đạo hàm của tốc độ thay đổi tức thời, chúng ta đã tìm ra cách xác định vận tốc từ phương trình chuyển động.
v=ds/dt
Tăng tốc theo phương trình vận tốc (hoặc phương trình chuyển động), sử dụng:
a=dv/dt=d²s/dt²
Công thức trên chỉ áp dụng cho chuyển động thẳng (như vận tốc và gia tốc trên đường thẳng), không áp dụng được cho nhiều bài toán trong cuộc sống. Vì vậy, chúng ta nghiên cứu khái niệm chuyển động cong khi vật chuyển động theo một đường cong xác định trước. Thông thường, chúng ta biểu diễn thành phần chuyển động dưới dạng 𝑥, và 𝑦 là một hàm theo thời gian, được gọi là dạng tham số.
4.4. Ứng dụng của tốc độ tương đối:
Nếu chúng ta có hai đại lượng phụ thuộc vào thời gian và chúng tương quan với nhau, thì chúng ta có thể biểu thị tốc độ thay đổi của một đại lượng so với đại lượng kia. Khi đó ta cần phân biệt hai vế kịp thời, tức là ta sẽ tìm được df/dt của hàm 𝑓(𝑡) nào đó.
5. Một số bài tập vi phân:
Phần 1:
Cho hàm số y = sin2x. Vi phân của hàm là:
A. dy = -sin2xdx
dy = sin2xdx
dy = sinxdx
dy = 2cosdx
Đáp án là: b
Ta có dy = d(sin2x ) = (sin2x )’dx = cosx.2sinxdx = sin2xdx
Câu 2: Hàm số y = f(x) = (x-1)2. Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho?
A. dy = 2(x-1)dx
dy = 2(x-1)
dy = (x-1)dx
dy = (x-1)2dx
Đáp án là: một
y = f(x) = (x-1)2 ⇒ y’ = 2(x-1) ⇒ dy = 2(x-1)dx
Câu 3: Vi phân của hàm số f(x) = 3×2 – x tại điểm x = 2, ứng với Δx = 0,1 là:
A. -0,07 b. 10 độ C 1,1 ngày. -0,4
Đáp án là: c
Ta có: f'(x) = 6x-1 ⇒ f'(2) = 11
df(2) = f'(2)Δx = 11.0.1 = 1.1
Câu 4: Hàm số y = sin2x. Chọn câu đúng
A. 4y – y’ = 0
4y + y’ = 0
y = y’.tan2x
y2 = (y’)2 = 4
Đáp án là: b
Ta có: y’ = 2cos2x; y” = -4sin2x 4y + y” = 0
Câu 5: Hàm số y = f(x) = -1/x. Hãy xem xét hai mệnh đề:
(i): y” = f” (x) = 2/x3 (ii): y”‘ = f”‘ (x) = -6/x4
Phát biểu nào đúng?
A. chỉ (i) là đúng
Chỉ (ii) đúng
Tất cả đều đúng
Tất cả đều sai
Đáp án là: d
Câu 6: Hàm số f(x) = (x+1)3. Giá trị f”(0) bằng
A. 3b. 6 độ C 12 ngày 24
Đáp án là: b
Vì: f'(x) = 3(x+1)2; f”(x) = 6(x+1)⇒ f”(0) = 6
Bài 7: Hàm số f(x) = sin3x + x2. giá trị f'(π/2) bằng
A. 0 B . -1 c. -2 ngày. 5
Đáp án là: b
Vì: f'(x) = 3 sin2xcosx + 2x; f”(x) = 6sinx.cos2x – 3sin3x + 2 ⇒ f” (π/2) = -1
Bài 8:Tính nguyên hàm của hàm số y = xsinx + cosx
A. dy = xcosxdx
dy = xcosx
dy = (2sinx + xcosx)dx
dy = (sinx+cosx)dx
Câu trả lời là: Một
y’ = sinx + xcosx – sinx = xcosx
Vậy dy = xcosxdx
