1. Định nghĩa phép đối xứng tâm
Tâm đối xứng được định nghĩa như sau:
Với điểm i, biến điểm i thành chính nó, và biến mọi điểm m ngoại trừ i thành m’ sao cho m đối xứng qua m qua i (hay i là trung điểm, gọi là phép đối xứng). trung tâm tôi).
Tâm đối xứng được kí hiệu là I
1.1 Biểu tượng
d$_{i}$ là ký hiệu của phép đối xứng tâm i
1.2. công thức
Từ định nghĩa của phép đối xứng tâm, chúng ta có thể rút ra công thức sau:
m’=d$_{i}(m)\rightarrow \overline{im’} =-\overline{im}$
1.3. Biểu diễn ảnh qua phép đối xứng tâm
Nếu đồ thị ℋ có dạng ℋ ‘ là ảnh qua d$_{i}$, ta cũng nói ℋ ‘ đối xứng qua ℋ qua tâm i, hay ℋ và ℋ ‘ đối xứng nhau qua tâm i i .
2. Đối xứng trung tâm
2.1. Thuộc tính 1
-
Nếu t$_{i}$(m) = m’ và t$_{i}$(n)=n’
Thì m’n’ = mn
$\overline{m’n’} = \overline{-mn}$
Lưu ý:
Nếu ba điểm m, n, p đồng thời thẳng hàng thì i lần lượt trở thành m’, n’, p’ qua phép đối xứng tâm và chúng cũng được sắp xếp theo cùng một thứ tự.
2.2. Thuộc tính 2
-
Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
-
Chuyển đổi một đường thành các đường thẳng song song hoặc chồng lên nhau
-
Chuyển đổi một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng này
-
Dùng tam giác ban đầu để chuyển tam giác thành tam giác
-
Biến một hình tròn thành một hình tròn khác có cùng bán kính
3. Biểu thức tọa độ đối xứng tâm
3.1. Biểu thức tọa độ đối xứng qua gốc tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy của m(x; y), ta gọi tọa độ m'(x’; y’) là ảnh mà m là tâm đối xứng qua o, ta có:
d$_{o}$(m) = m’
Sau đó x’ = -x
y’ = -y
3.2. Biểu thức tọa độ tâm đối xứng tùy ý
Giả sử m'(x’; y’) là ảnh của m(x; y) trên mặt phẳng Oxy, cho i(a; b), m(x; y) đối xứng qua tâm i ta có:
t$_{i}(m) =m’$
Vậy điểm i là trung điểm của mm’
Đạo hàm: tọa độ $i (a; b) = (\frac{x + x’}{2}; \frac{y + y’}{2})$
$\rightarrow a =\frac{x + x’}{2}$
$b =\frac{y + y’}{2})$
$\mũi tên phải 2a =x+x’$
$2b =y+y’$
Suy luận:
4. Tâm đối xứng của đồ thịĐịnh nghĩa: Điểm o được gọi là tâm đối xứng của đồ thị ℋ nếu tâm đối xứng o biến ℋ thành chính nó.
Một ví dụ thực tế
Tâm đối xứng của một số hình phẳng
* Phương pháp tìm tâm đối xứng của đồ thị
Nếu hình đã cho là đa giác, sử dụng tính chất: Đa giác có tâm đối xứng o thì đối xứng qua tâm, mỗi đỉnh của nó phải trở thành một đỉnh của đa giác và mỗi cạnh của nó phải trở thành một cạnh song song và bằng Đa giác đối với cạnh này.
Nếu hình đã cho không phải là đa giác thì chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa.
5.Một số dạng bài tập đối xứng tâm từ cơ bản đến nâng cao (có đáp án)
5.1. Dạng 1: tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng tâm
Phương pháp: Áp dụng biểu thức tọa độ tâm đối xứng
Gọi m'(x’; y’) là ảnh của m(x; y) qua phép đối xứng tâm
Nếu tâm đối xứng là gốc tọa độ o(0; 0)
x’ = − x
y’ = − y
Nếu tâm đối xứng là gốc tọa độ i(a; b)
x’ = 2a − x
y’ = 2b − y
vd1: trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ảnh của điểm m(-2021; 2022) đi qua phép đối xứng tâm o(0;0) là:
A. m'(2021; 2022)
m'(2021;-2022)
m'(-2021; 2022)
m'(-2021;-2022)
Giải pháp
Phép đối xứng qua tâm o, m'(x’, y’) là ảnh của m đối xứng qua tâm o
Ta có biểu thức tọa độ đối xứng tâm:
x’ = -x = 2021
y’ = -y = -2022
m'(2021;-2022)
Chọn câu trả lời b
vd2: trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ảnh của điểm m(1;-6) qua phép đối xứng tâm i(-2;5) là:
A. m'(-5; 16)
m'(5; -16)
m'(-4; 3)
m'(4; -3)
Giải pháp
Giả sử điểm m'(x’, y’) là ảnh của m qua phép đối xứng tâm i
Ta có biểu thức tọa độ đối xứng qua tâm i:
x’ = 2a – x
y’ = 2b – y
⇔ x’ = 2 . (-2) – 1
y’ = 2. 5 – (-6)
⇔ x’ = -5
y’ = 16
$\rightarrow$ m'(-5; 16)
$\rightarrow$ chọn câu trả lời a
5.2. Dạng 2: tìm ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng
Phương pháp: Dựa vào tính chất của phép đối xứng tâm, biến một đoạn thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
– Bước 1: Lấy hai điểm bất kỳ trên đoạn thẳng.
– bước 2: Tìm ảnh qua phép đối xứng tâm của hai điểm ở bước 1.
– Bước 3: Bắt đầu từ hai điểm trên đoạn thẳng ta viết phương trình đoạn thẳng cần tìm.
vd1: Cho đường thẳng d nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy có phương trình là:
x + 2y + 4 = 0. Sử dụng phép đối xứng tâm o(0;0), tìm ảnh của đường thẳng d
A. x + y + 4 = 0
x + y – 4 = 0
x + 2y – 4 = 0
2x + 3y + 4 = 0
Giải pháp
Ta có phương trình d là x + 2y + 4 = 0,
Lấy 2 điểm a(0; -2), b(-4; 0)
Giả sử a’ và b’ lần lượt là hình đối xứng qua tâm o của a và b. Khi đó ta có:
$x_{a’} = -x_{a} = 0$
$y_{a’} = -y_{a} = 2$
$\rightarrow$ a'(0, 2)
Tương tự như:
$x_{b’} = -x_{b} = 4$
$y_{b’} = -y_{b} = 0$
$\rightarrow$ b'(4, 0)
Gọi d’ là ảnh d đối xứng qua tâm o. Khi đó theo phép đối xứng tâm d’ sẽ đi qua hai điểm a’ và b’.
Suy ra rằng $\overline{a’b’}$ là vectơ chỉ phương của d’
Ta có: $\overline{a’b’} (4; -2) \rightarrow \bar{n} (1; 2)$
Phương trình của đường thẳng d’ là:
1(x – 0) + 2(y – 2) = 0
$\rightarrow$ x + 2y – 4 = 0
$\rightarrow$ chọn câu trả lời c
vd2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng d có phương trình là
3x – 4y + 6 = 0, điểm i(2; -4). Biết d’ là ảnh của d qua phép đối xứng i, viết phương trình đường thẳng d’.
A. 3x + 2y + 34 = 0
-3x + 2y + 34 = 0
2x + 3y – 34 = 0
-2x + 3y – 34 = 0
Giải pháp
Ta có phương trình d là 3x – 2y + 6 = 0,
Lấy 2 điểm a(0; 3), b(-2; 0)
Dùng phép đối xứng tâm i, ta gọi a’ và b’ lần lượt là ảnh của a và b. Khi đó biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm i là:
$x_{a’}=2a – x_{a}$
$y_{a’} =2b – y_{a}$
⇔ $x_{a’}=2 . 2 – 0$
$y_{a’}=2 . (-4) – 3$
⇔ $x_{a’}=4$
$y_{a’}= -11$
$\rightarrow$ a'(4, -11)
Tương tự như:
$x_{b’}=2a – x_{b}$
$y_{b’}=2b – y_{b}$
⇔ $x_{b’}=2 . 2 + 2$
$y_{a’}=2 . (-4) – 0$
⇔ $x_{a’}=6$
$y_{a’}= -8$
$\rightarrow$ b'(6, -8)
Dùng phép đối xứng tâm i ta có d’ là ảnh của d. Khi đó d’ sẽ đi qua hai điểm a’ và b’.
Ta có: $\overline{a’b’} (2; 3) \rightarrow \bar{n} (-3; 2)$
Phương trình của đường thẳng d’ là:
-3(x – 4) + 2(y + 11) = 0
$\rightarrow -3x + 2y + 34 = 0$
$\rightarrow$ chọn câu trả lời b
5.3. Dạng 3: Tìm ảnh của đường tròn qua phép đối xứng
Phương pháp: Theo đường tròn lập thành đường tròn có cùng bán kính đối xứng qua tâm.
– Bước 1: Tìm bán kính và tâm của đường tròn.
– Bước 2: Tìm ảnh của tâm đường tròn bằng phép đối xứng tâm.
– Bước 3: Viết phương trình đường tròn có bán kính bằng bán kính của đường tròn bài toán và tâm của nó.
vd1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình của đường tròn (c’), đó là ảnh của đường tròn (c): $(x – 1)^{2} + (y+3 )^{2 }=16 $ là phép đối xứng o(0; 0) qua tâm.
A. $(x + 1)^{2} + (y – 3)^{2}=16$
$(x – 1)^{2} + (y + 3)^{2}=16$
$(x – 1)^{2} + (y + 3)^{2}=9$
$(x + 1)^{2} + (y – 3)^{2}=9$
Giải pháp
Gọi tâm và bán kính hình tròn là i và r
Ta có phương trình (c): $(x – 1)^{2} + (y + 3)^{2}=16$
Suy luận: tọa độ i(1; -3), r = 4
Đặt tâm và bán kính của đường tròn (c’) lần lượt là i’ và r’
Theo phép đối xứng tâm ta có
r’ = r = 4
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm o là:
x’ = – x = -1
y’ = -y = 3
$\rightarrow$ i'(-1; 3)
Phương trình của đường tròn dẫn xuất (c’) là:
$(x + 1)^{2} + (y – 3)^{2}=16$
$\rightarrow$ chọn câu trả lời a
vd2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy của đường tròn (c): $x^{2} + y^{2} + 2x – 4y + 1=0$ điểm a(1; 2). Tìm đồ thị của (c) từ tâm đối xứng a.
A. $(x + 3)^{2} + (y + 2)^{2}=4$
$(x – 3)^{2} + (y + 2)^{2}=4$
$(x + 3)^{2} + (y – 2)^{2}=4$
$(x – 3)^{2} + (y – 2)^{2}=4$
Giải pháp
Gọi tâm và bán kính hình tròn là i và r
Ta có phương trình (c):
$x^{2} + y^{2} + 2x – 4y + 1=0$
⇔ $(x^{2} + 2x +1) + (y^{2} – 4y + 4) + 1 – 1 – 4=0$
⇔ $(x + 1)^{2} + (y – 2)^{2}=4$
Suy ra: i(-1; 2) và r = 2
Qua phép đối xứng tâm a, tâm (c’) gọi là ảnh của (c), tâm và bán kính tâm a lần lượt là i’ và r’
Ta có:
r’ = r = 2
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm a là:
x’ = 2a – x
y’ = 2b – y
⇔ x’ = 2 . 1 + 1
y’ = 2. 2 – 2
⇔ x’ = 3
y’ = 2
$\rightarrow$ i'(3; 2)
Phương trình của đường tròn dẫn xuất (c’) là:
$(x – 3)^{2} + (y – 2)^{2}=4$
$\rightarrow$ chọn câu trả lời d
Trên đây là toàn bộ nội dung và bài tập có lời giải chi tiết về phép đối xứng tâm. Hi vọng các em có thể tham khảo và áp dụng thật tốt bài học này và đạt điểm cao trong các kì thi sắp tới. Các bạn có thể truy cập ngay vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ tổng đài hỗ trợ nhằm chuẩn bị kiến thức tốt nhất cho kỳ thi THPT Quốc gia nhé!
-
