Cung và góc lượng giác: Lý thuyết và các dạng toán lớp 10 – VUIHOC

1.Khái niệm chung về cung và góc trong tam giác

1.1. Cung tam giác là gì?

Cho một đường tròn bán kính r, tâm o, trên đường tròn (o) này ta lấy hai điểm khác nhau a và b.

Bây giờ chúng ta nói: $\widehat{amb}$ là cung phụ, $\widehat{anb}$ sẽ là cung chính. Khi chúng ta viết $\widehat{ab}$ chúng ta hiểu rằng đây là một cung nhỏ. ab là chướng ngại vật $\widehat{ab}$.

1.2. một góc tam giác là gì?

Khi có hai góc đối đỉnh và tia cuối giống nhau, chúng ta có số đo khác nhau là bội số của $360^{\circ}$ (hoặc $2\pi$).

1.3. Hình tròn tam giác

Định nghĩa đường tròn tam giác là trong cùng một mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường tròn có tâm o bán kính r, đồng thời chọn điểm a làm gốc, chọn chiều quay ngược chiều kim đồng hồ làm chiều dương .

Điểm m(x;y), (oa;om) = α trên đường tròn tam giác gọi là điểm trên đường tròn tam giác và biểu diễn cung tam giác có số đo α.

• Trục tăng được gọi là trục giá trị của cos.

• Trục oy được gọi là trục giá trị của sin.

• Gốc của trục a cùng hướng với trục y được gọi là trục giá trị tan.

• Cùng hướng với trục bs gốc b và trục gia súc được gọi là trục giá trị cũi.

  

  Giá trị hàm lượng giác sin, cosin, tiếp tuyến, cotang:

  

  Ký hiệu cho các giá trị lượng giác

  

  2. Đơn vị đo cung và góc lượng giác

  2.1. Đơn vị radian

  Khi độ dài chính của cung tròn bằng bán kính đường tròn chứa cung đó và có số đo là

  1 radian, đại diện bởi 1$rad$ hoặc đơn giản bỏ qua $rad$ và đại diện bởi 1.

  2.2. Đơn vị độ

  Độ chính xác là thước đo độ phẳng của góc $= \frac{1}{180}$.

  Góc ở tâm của cung tròn bằng tung độ của cung.

  Vậy radian bằng $\frac{1}{180}$ và hình bán nguyệt bằng 1 độ.

  Chữ ký 1o được đọc là độ

  $1^{\circ} = 60′;1′ = 60”$

  2.3. Chuyển đổi độ sang radian

  $180^{\circ} = \pi rad \rightarrow 1^{\circ} = \frac{\pi}{180}rad, 1rad = (\frac{180}{ pi})^{\circ}$

  2.4. chiều dài cung

  Cung của hình tròn có bán kính r là rad và chiều dài của nó là l=rad

  Trên đường tròn có bán kính r và tâm o, công thức tính độ dài l của cung n là: $l=\frac{\pi r n}{180}$

  

  3. Bảng giá trị hàm lượng giác

  3.1. Cách tìm giá trị hàm lượng giác của cung

  Đối với số thực $\alpha $. Gọi m là đỉnh của cung có số đo $\alpha $ trên đường tròn tam giác. Xét một điểm m có tọa độ $m(x;y)$. Chúng tôi có các định nghĩa sau:

  $x = cos\alpha ; y=sin\alpha ; yx=tan\alpha; xy=cot\alpha$

  

  Ta có công thức:

  $tan\alpha = \frac{sin\alpha }{cos\alpha} ; cot\alpha = \frac{cos\alpha }{sin\alpha}$

  Ta có công thức sau:

  • $sina=1 \leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{\alpha} + k2\pi$

  • $sina= -1 \leftrightarrow \alpha = \frac{-\pi}{2} + k2\pi$

  • $sina=0 \leftrightarrow \alpha = k\pi$

  • $cosa=1 \leftrightarrow \alpha = k2\pi$

  • $cosa= -1 \leftrightarrow \alpha = k2\pi$

  • $cosa=0 \leftrightarrow \alpha = k\pi$

    3.2. Giá trị lượng giác của góc đặc biệt

    

    3.3. Tìm giá trị hàm lượng giác của góc liên quan

    

    

    Công thức cơ bản:

    

    3.4. Công thức lượng giác

    

    Một số dạng bài tập về cung và tam giác lớp 4,10

    4.1. Cung tam giác nằm trên đường tròn được biểu diễn như thế nào?

    Cách giải quyết:

    Chúng ta thường sử dụng kết quả sau để biểu diễn góc của tam giác trên đường tròn tam giác:

    • Góc $\alpha$ và góc $\alpha+k2\pi$, $k\in z$ có cùng một điểm trên đường tròn tam giác.

    • Số điểm trên đường tròn tam giác, được biểu thị bằng số đo có dạng $\alpha + \frac{k2\pi}{m}$ (trong đó $k$ là một số nguyên và $ m$ là một số nguyên dương ) là $m$. Từ đó biểu diễn các góc của tam giác ta cho từ $k$ đến $(m-1)$ rồi biểu diễn các góc đó.

      Ví dụ: Biểu diễn các góc của tam giác bằng các số đo sau:

      1. $\frac{\pi}{4}$

      2. $\frac{-11\pi}{2}$

      3. $120^{\circ}$

      4. $-765^{\circ}$

         Giải pháp:

         1. Ta có: $\frac{\frac{\pi}{4}}{2\pi} = \frac{1}{8}$. Chúng tôi chia vòng tròn thành tám phần bằng nhau.

         Khi đó điểm $m_{1}$ là điểm được biểu thị bằng góc đo bởi $\frac{\pi}{4}$

         2. Ta có $\frac{-13\pi}{2} = -2\pi+(-3).2\pi$ nên điểm được biểu diễn bằng góc $\frac{-11\pi } {2 }$ trùng với góc $frac{-\pi}{2}$ và là điểm $b’$.

         3. Chúng ta có $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$. Sau đó, chia đường tròn thành ba phần bằng nhau và điểm $m_{2}$ là điểm được biểu thị bởi góc có số đo là $120^{\circ}$

         4. Ta có $-765^{\circ} = -45^{\circ} + (-2). 360^{\circ}$ Vậy điểm biểu diễn bởi góc $-765^{\circ}$ trùng với góc $-45^{\circ}. \frac{45}{360} = \frac{1}{8}$. Sau đó, chúng tôi chia vòng tròn thành 8 phần bằng nhau (lưu ý các góc âm).

         Khi đó, điểm $m_{3}$ (trung điểm của cung ngắn $\widehat{ab}$) là điểm được biểu thị bằng góc được đo tại $-765^{\circ}$.

         4.2. Cách xác định giá trị của biểu thức chứa góc đặc biệt

         Mục đích của bài toán này là xác định giá trị của biểu thức liên quan đến một góc cụ thể và dấu của giá trị lượng giác của một góc lượng giác.

         Giải pháp:

         • Sử dụng định nghĩa giá trị hàm lượng giác trong bài học.

         • Sử dụng các giá trị trig đặc biệt và bảng thuộc tính.

         • Sử dụng các quan hệ lượng giác và tam giác cơ bản cho các quan hệ góc đặc biệt.

         • Để xác định dấu các giá trị lượng giác của các cung (góc) ta áp dụng bảng dấu các giá trị lượng giác. Đồng thời xác định đỉnh của cung (tia cuối cùng của góc) thuộc góc phần tư nào.

           Ví dụ:

           Bài 1: Tính giá trị của các hàm số lượng giác:

           1. $a = sin \frac{7\pi}{6} +cos 9\pi + tan (\frac{-5\pi}{4}) + cot \frac{ 7\pi}{2}$

           2. $b = \frac{1}{368^{\circ}} + \frac{2sin2550^{\circ}.cos(-188^{\circ})}{2cos638^{\circ } + cosin 9 8^{\circ}}$

           Giải pháp thay thế:

           1. Ta có:

           $a = sin (\pi + \frac{\pi}{6}) + cos (\pi + 4.2\pi) – tan(\pi + \frac{\pi }{4})+cot (\frac{\pi}{2} + 3\pi)$

           $a = -sin \frac{\pi}{6} + cos \pi -tan \frac{\pi}{4} + cot \frac{\pi}{2} = \frac{-1}{2} – 1 – 1 + 0 = \frac{-5}{2}$

           2. Chúng tôi có:

           $b = \frac{1}{tan8^{\circ}} + \frac{2(sin(30^{\circ}+7.360^{\circ})}.cos{ 8^{\circ}+180^{\circ}}{2cos(-90^{\circ}) + 8^{\circ} + 2 . 360^{\circ} + cos (90 ^{\circ} + 8^{\circ})}$

           $b= \frac{1}{tan8^{\circ}} + \frac{2sin30^{\circ}.(-cos8^{\circ})}{2cos(8^ {\circ}-90^{\circ})-sin8^{\circ}} = \frac{1}{tan8^{\circ}} + \frac{2sin30^{\circ }.(-cos8^{\circ})}{2cos(8^{\circ}-90^{\circ})-sin8^{\circ}} = \frac{1}{tan8 ^{\circ}} + \frac{2.\frac{1}{2}.(-cos8^{\circ})}{2cos(90^{\circ}-8^{ circ}) – sin8^{\circ}} = \frac{1}{tan8^{\circ}} – \frac{cos8^{\circ}}{2sin8^{\circ} -sin8^{\circ}} = \frac{1}{tan8^{\circ}} – \frac{cos8^{\circ}}{sin8^{\circ}} = 0$

           Bản nhạc 2: là $\frac{\pi}{2} < \alpha<; \pi$. Dấu hiệu xác định giá trị của các hàm số lượng giác:

           1. $sin (\frac{3\pi}{2} – \alpha)$

           2. $cos (\alpha + \frac{\pi}{2})$

           3. $tan (\frac{3\pi}{2} + \alpha)$

              Giải pháp thay thế:

              1. Ta có: $\frac{\pi}{2} < \alpha<; \pi \rightarrow \pi <; \alpha + \frac{\pi}{ 2} < \frac{3\pi}{2} \rightarrow -1 <; cos (\alpha + \frac{\pi}{2}) <; 0$

              Vậy $sin (\frac{3\pi}{2} – \alpha) > 0$

              2. Chúng ta có: $\frac{\pi}{2} < \alpha<; \pi \rightarrow \pi <; \alpha + \frac{\pi}{2} < \ frac{3\pi}{2} \rightarrow -1 <; cos (\alpha + \frac{\pi}{2}) <; $0. Vì vậy, $cos (\alpha + \frac{\pi}{2})<0$

              3. $\frac{\pi}{2} < \alpha<; \pi \rightarrow 2\pi <; \frac{3\pi}{2} + \alpha <; \ frac{5\pi}{2}$

              Vậy $cos (\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ nằm trong góc phần tư thứ i.

              Vậy $cos (\frac{3\pi}{2} + \alpha) > 0$

              4.3. Chứng minh rằng biểu thức không liên quan gì đến góc x, một biểu thức đơn giản

              Đây là dạng chứng minh đẳng thức lượng giác chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào góc x, một biểu thức đơn giản.

              Giải pháp:

              • Sử dụng các quan hệ lượng giác cơ bản, hằng đẳng thức dễ nhớ, biến đổi sử dụng tính chất giá trị tam giác.

              • Khi chứng minh một đẳng thức, ta có thể biến đổi vế này sang vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế các đại lượng khác nhau.

              • Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc vào góc x.

              • Hoặc các biểu thức đơn giản mà chúng ta cố gắng cho các nhân tử chung xuất hiện ở cả tử số và mẫu số để rút gọn hoặc trái dấu để rút gọn nhau.

                Ví dụ: Chứng minh phương trình sau (giả sử tất cả các biểu thức bên dưới đều có nghĩa):

                1. $cos^{4}x + 2sin^{2}x = 1 + sin^{4}x$

                2. $\sqrt{sin^{4}x + 4cos^{2}x} + \sqrt{cos^{4} x+ 4sin^{2}x} = 3tan(x + \ frac{\pi}{3}) tan(\frac{\pi}{6} – x)$

                   Giải pháp thay thế:

                   1. Phương trình tương đương với $cos^{4}x = 1 – 2sin^{2}x + (sin^{2}x)^{2} \leftrightarrow cos^{4}x = ( 1 – sin^{ 2}x)^{2}$(*)

                   $sin^{2}x + cos^{2}x = 1 \rightarrow cos^{2}x = 1 – sin^{2}x$

                   Như vậy: (*) $\leftrightarrow cos^{4}x= (cos^{2}x)^{2}$ (true) dpcm.

                   2. $vt = \sqrt{sin^{4}x + 4(1-sin^{2}x)} + \sqrt{cos^{4}x + 4(1-cos^{2}x)} $

                   $= \sqrt{(sin^{2})^{2} – 4sin^{2}x + 4} + \sqrt{(cos^{2})^{2} – 4cos^{ 2}x + 4}$

                   $= \sqrt{(sin^{2}x – 2)^{2}} + \sqrt{(cos^{2}x – 2)^{2}} = (2 – sin^ {2}x) + (2 – cos^{2}x)$

                   $= 4 – (sin^{2}x + cos^{2}x)$

                   Mặt khác vì $(x + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} – x = \frac{\pi}{2} \rightarrow tan (\frac{\pi}{6} – x) = cot(x + \frac{\pi}{3})$ Vậy:

                   $vp = 3 tan(x + \frac{\pi}{3}) cot(x + \frac{\pi}{3}) = 3 \rightarrow vt=vp$ dpcm

                   Mong rằng các em học sinh sẽ có thêm nhiều kiến ​​thức bổ ích qua các bài viết trên và qua các bài tập về cung tròn và tam giác. Hãy truy cập vào vuihoc.vn để đăng ký tài khoản và xem thêm nhiều dạng toán khác nhé!