Tổng hợp dạng toán về phương trình bậc 2 một ẩn thông dụng nhất

Phương trình bậc hai một ẩn là một trong những kiến ​​thức quan trọng trong chương trình toán cấp trung học cơ sở. Vì vậy, hôm nay Master Ant xin giới thiệu đến các bạn một bài viết về chủ đề này. Bài viết sẽ tóm tắt lý thuyết cơ bản, đồng thời đưa ra các dạng toán thường gặp và các ví dụ ứng dụng một cách chi tiết, rõ ràng. Đây là một chủ đề nóng thường xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh. Hãy cùng Ant Master khám phá nhé:

1. Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn Số – Lý Thuyết.

1.1. Phương trình bậc hai là gì?

Đối với phương trình sau: ax2+bx+c=0 (a≠0), nó được gọi là phương trình x bậc hai ẩn.

Công thức giải: Ta gọi Δ=b2-4ac thì:

• Δ>0: Phương trình có 2 nghiệm: .



• Δ=0, phương trình có nghiệm kép x=-b/2a
• Δ<0 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Trong trường hợp b=2b’, để đơn giản, chúng ta có thể tính Δ’=b’2-ac, tương tự như trên:

• Δ’>0: Phương trình có 2 nghiệm khác nhau.



• Δ’=0: phương trình có nghiệm kép x=-b’/a
• Δ'<0: Phương trình vô nghiệm.

1.2. Định lý Viet và ứng dụng vào phương trình bậc hai một biến.

Cho phương trình bậc hai chưa biết: ax2+bx+c=0 (a≠0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thì thỏa mãn hệ thức sau:



Theo quan hệ trên ta có thể sử dụng định lý viet để tính biểu thức đối xứng liên quan đến x1 và x2

• x1+x2=-b/a
• x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(b2-2ac)/a2
• 
• …

Chú ý: Với dạng này ta cần biến đổi biểu thức để xuất hiện (x1+x2) và x1x2 để áp dụng hệ thức viet.

Định lý nghịch đảo: Giả sử có 2 số thực x1 và x2 thỏa mãn: x1+x2=s, x1x2=p thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-sx +p= 0

1.3. Một số ứng dụng phổ biến của Định lý Việt Nam trong giải toán:

• Xét phương trình bậc hai 2: Cho phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0),
  • Nếu a+b+c=0 thì phương trình có nghiệm x1= 1 và x2 =c/a
  • Nếu a-b+c=0 thì phương trình có nghiệm x1=-1 và x2=-c/a
  • Nhân đa thức: Với đa thức p(x)=ax2+bx+c nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình p(x)=0 thì đa thức p(x)= a(x- x1)( x -x2)
  • Xác định dấu của nghiệm: Cho phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0), giả sử x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình. Theo định lý Vi-ét ta có:

  

  • Nếu s<0 thì x1 và x2 trái dấu.
  • Nếu s>0 thì x1 và x2 cùng dấu:
    • p>0 thì cả hai nghiệm đều là số dương.
    • p<0, cả hai giải pháp đều giống nhau.

    2. Dạng câu hỏi luyện tập phương trình bậc hai một biến:

    2.1. Dạng 1: Luyện phương trình bậc hai không chứa tham số

    Cách phổ biến nhất để giải phương trình bậc hai là tính Δ hoặc Δ’ bằng công thức, sau đó áp dụng các điều kiện và công thức để giải được nêu trong mục i.

    Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

    1. x2-3x+2=0
    2. x2+x-6=0

    Mô tả:

    1. Δ=(-3)2-4.2=1. Vậy

    

    Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách tính nhanh: để ý

    Rút ra phương trình có nghiệm là x1=1 và x2=2/1=2

    1. Δ=12-4.(-6)=25. Vậy

    Tuy nhiên, ngoài phương trình bậc hai đầy đủ, ta còn xét các trường hợp đặc biệt sau:

    Phương trình khoảng trống đầu cuối.

    Thiếu số hạng bậc nhất: ax2+c=0 (1).

    Phương pháp:

    • 
    • Nếu -c/a>0, giải pháp là:

    

    • Nếu -c/a=0, giải x=0
    • Nếu -c/a<0 thì phương trình vô nghiệm.

    Lỗi giới hạn tự do: ax2+bx=0 (2). Phương pháp:

    • 

    Ví dụ 2: Giải phương trình:

    1. x2-4=0
    2. x2-3x=0

    Mô tả:

    1. x2-4=0 ⇔ x2=4 ⇔ x=2 hoặc x=-2
    2. x2-3x=0 x(x-3)=0 x=0 hoặc x=3

    Phương trình trở về dạng bậc hai.

    Phương trình bình phương: ax4+bx2+c=0 (a≠0):

    • Đặt t=x2 (t≥0).
    • Dạng của phương trình đã cho là: at2+bt+c=0
    • Giải như phương trình bậc hai tổng quát, chú ý điều kiện t≥0

    Việc bao gồm công thức bị ẩn trong mẫu:

    • Tìm điều kiện xác định của phương trình (điều kiện mẫu số khác không).
    • Giảm đồng khử.
    • Giải phương trình vừa thu được, chú ý so sánh với điều kiện ban đầu.

    Chú ý: Phương pháp đặt t=x2 (t≥0) gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. Ngoài cách đặt ẩn phụ như trên, đối với một số bài toán cần khéo léo chọn ẩn phụ tốt nhất để chuyển bài toán từ bậc cao về dạng bậc hai quen thuộc. Ví dụ: bạn có thể đặt t=x+1, t=x2+x, t=x2-1 …

    Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

    1. 4×4-3×2-1=0
    2. 

    Mô tả:

    1. Đặt t=x2 (t≥0) thì phương trình trở thành:

    4t2-3t-1=0, suy ra t=1 hoặc t=-¼

    • t=1 x2=1 x=1 hoặc x=-1.
    • t=-¼ , gõ theo điều kiện t≥0

    Vậy phương trình có nghiệm x=1 hoặc x=-1.

    1. Ta có:

    

    2.2. Dạng 2: phương trình bậc hai một biến chưa biết

    Suy ra số nghiệm của phương trình bậc hai.

    Cách làm: Sử dụng công thức tính Δ, căn cứ vào dấu của Δ mà phương trình có 2 nghiệm khác nhau, nghiệm kép hoặc vô nghiệm.

    Ví dụ 4: Giải đối số theo tham số m: mx2-5x-m-5=0(*)

    Mô tả:

    Xét m=0 thì (*) -5x-5=0 x=-1

    Xét m≠0 thì (*) là phương trình bậc hai ẩn số x.

    • 
    • Vì Δ≥0 phương trình luôn có nghiệm:
      • Δ=0 ⇔ m=-5/2 nên phương trình có nghiệm duy nhất.
      • Δ>0 ⇔ m≠-5/2 thì phương trình có 2 nghiệm khác nhau:

      

      Xác định điều kiện tham số thỏa mãn yêu cầu của câu hỏi.

      Phương pháp: Để đáp ứng được yêu cầu của câu hỏi thì phương trình bậc hai trước hết phải có nghiệm. Vì vậy, chúng tôi làm như sau:

      • Tính và tìm điều kiện để không âm.
      • Theo định lý Viet, rút ​​ra hệ thức giữa tích và tổng rồi chứng minh theo yêu cầu.

      Ví dụ 5: Cho phương trình x2+mx+m+3=0 (*). Tìm m sao cho phương trình (*) có 2 nghiệm:

      

      Mô tả:

      Để phương trình (*) có nghiệm:

      Khi đó theo định lý Viet ta cho x1, x2 là 2 nghiệm:

      

      Nếu không:

      

      Theo chủ đề:

      

      Thử lại:

      • Khi m=5, =-7 <0 (loại)
      • Khi m=-3, =9 >0 (chấp nhận)

      Vậy m = -3 thỏa yêu cầu đề.

      Phần trên là phần tổng hợp Phương trình bậc hai ẩn đơn của một bậc thầy về kiến. Hi vọng qua bài viết này các bạn đã hiểu rõ hơn về chủ đề này. Ngoài việc củng cố kiến ​​thức, các bạn còn rèn luyện tư duy giải phương trình bậc hai, các bạn cũng có thể tham khảo thêm các bài viết khác trên trang Ant Master để tìm hiểu thêm và khám phá thêm nhiều kiến ​​thức mới. Chúc các em mạnh khỏe và chăm ngoan học giỏi!